Normal Numbers and the Borel Hierarchy

We show that the set of absolutely normal numbers is $\mathbf \Pi^0_3$-complete in the Borel hierarchy of subsets of real numbers. Similarly, the set of absolutely normal numbers is $\Pi^0_3$-complete in the effective Borel hierarchy

A linearly computable measure of string complexity

AbstractWe present a measure of string complexity, called I-complexity, computable in linear time and space. It counts the number of different substrings in a given string. The least complex strings are the runs of a single symbol, the most complex are the de Bruijn strings. Although the I-complexity of a string is not the length of any minimal description of the string, it satisfies many basic properties of classical description complexity. In particular, the number of strings with I-complexity up to a given value is bounded, and most strings of each length have high I-complexity

A computable absolutely normal Liouville number

We give an algorithm that computes an absolutely normal Liouville number.Fil: Becher, Veronica Andrea. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Heiber, Pablo Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Slaman, Theodore A.. University of California at Berkeley; Estados Unido

Normal numbers and finite automata

We give an elementary and direct proof of the following theorem: A real number is normal to a given integer base if, and only if, its expansion in that base is incompressible by lossless finite-state compressors (these are finite automata augmented with an output transition function such that the automata input–output behaviour is injective; they are also known as injective finite-state transducers). As a corollary we obtain V.N. Agafonov’s theorem on the preservation of normality on subsequences selected by finite automata.Fil: Becher, Veronica Andrea. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Heiber, Pablo Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; Argentin

Normal numbers and finite automata

We give an elementary and direct proof of the following theorem: A real number is normal to a given integer base if, and only if, its expansion in that base is incompressible by lossless finite-state compressors (these are finite automata augmented with an output transition function such that the automata input–output behaviour is injective; they are also known as injective finite-state transducers). As a corollary we obtain V.N. Agafonov’s theorem on the preservation of normality on subsequences selected by finite automata.Fil: Becher, Veronica Andrea. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Heiber, Pablo Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; Argentin

Efficient repeat finding in sets of strings via suffix arrays

We consider two repeat finding problems relative to sets of strings: (a) Find the largest substrings that occur in every string of a given set; (b) Find the maximal repeats in a given string that occur in no string of a given set. Our solutions are based on the suffix array construction, requiring O(m) memory, where m is the length of the longest input string, and O(n &log;m) time, where n is the the whole input size (the sum of the length of each string in the input). The most expensive part of our algorithms is the computation of several suffix arrays. We give an implementation and experimental results that evidence the efficiency of our algorithms in practice, even for very large inputs.Fil: Barenbaum, Pablo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina;Fil: Becher, Veronica Andrea. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina; Consejo Nacional de Investigaciones Cientificas y Tecnicas. Oficina de Coordinacion Administrativa Ciudad Universitaria; Argentina;Fil: Deymonnaz, Alejandro. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina;Fil: Halsband, Melisa. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina;Fil: Heiber, Pablo Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina; Consejo Nacional de Investigaciones Cientificas y Tecnicas. Oficina de Coordinacion Administrativa Ciudad Universitaria; Argentina

Subastas estocásticas veraces para búsqueda patrocinada

La venta de publicidad asociada a los resultados de las búsquedas o a los contenidos de una página web, conocida como búsqueda patrocinada, se ha convertido en la mayor fuente de ingresos de las principales empresas del sector, y su importancia relativa continúa creciendo. El esquema más frecuentemente utilizado en ese contexto es el de un conjunto de anunciantes que compiten por la asignación de un conjunto limitado de espacios de publicidad y pagan al editor cuando un usuario hace click en su aviso. Las características particulares de esta actividad han motivado el surgimiento de muchos e interesantes problemas abordables desde distintas disciplinas como la informática, la optimización, la economía y hasta la sociología, en forma mono o multidisciplinaria. Las decisiones acerca de cuántos y cuáles avisos elegir, en qué orden mostrarlos, cómo y cuánto cobrar por el servicio, abren un amplio campo de investigación que vincula las disciplinas mencionadas. Éstas buscan de mecanismos que permitan satisfacer los intereses de los distintos actores involucrados (editores, anunciantes y usuarios), con propiedades de e-ciencia y practicidad adecuadas a las características de la aplicación (masividad, velocidad de respuesta requerida, propiedades económicas o de teoría de juegos, etc.).\nEn esta tesis buscamos analizar propiedades teóricas generales sobre las formas que toman dichas decisiones, así como proponer algunos casos particulares, en forma de algoritmos, con interesantes propiedades. En particular, buscamos una caracterización de la familia de subastas veraces, es decir, mecanismos de selección y pago que incentivan a los avisadores a revelar el valor real que le asignan a un click en su aviso. A partir de dicha caracterización, desarrollaremos distintas herramientas para construir subastas veraces o extender subastas existentes conservando buenas propiedades. Los resultados obtenidos están orientados a proveer nuevas herramientas a los participantes de esta importante y\nnovedosa actividad económica.\nComo resultados principales, presentamos la primer clase de subastas veraces para el contexto de las búsquedas patrocinadas sin más restricciones. Dicha clase es una generalización de las subastas escalonadas presentadas en [AGM06] y de las subastas estocásticas con método de cobro condex presentadas en [MCW05], consolidando ambos contextos en un mismo entorno de trabajo. También probamos que, bajo ciertas condiciones normales para el contexto de aplicación, la clase que damos es la única, lo que nos lleva a un importante corolario de caracterización de todas las subastas veraces para búsquedas patrocinadas en términos puramente aritméticos, que puede tomar el lugar de la definición común, basada en el comportamiento de los agentes involucrados, más difícil de manejar en muchos casos.\nFinalmente, introducimos métodos para, dadas subastas simples que cumplen la propiedad de veracidad, generar otras más complejas que la mantienen, con garantías respecto de los cambios en el beneficio del editor al introducir las modificaciones. En el proceso, encontramos cotas superiores a dicho beneficio al pasar de un entorno con un solo aviso publicado a muchos, o al pasar de considerar todos los espacios disponibles como idénticos, a diferenciarlo según su visibilidad. Estas extensiones tienen aplicaciones prácticas directas, que también mencionamos.Selling advertising associated with search results or the content of a web, practice known as sponsored search, has been the major source of income of the main providers of web services, and its relative importance is still growing. The most frequently used framework consist of a set of advertisers competing for a limited set of advertisement slots and pay to the editor when a user clicks on their ad. The particular characteristics of this activity motivated the origin of many interesting problems for many elds, such as informatics, optimization, economy and even sociology, in a mono- or multi-disciplinarian way. The decisions about how many and which ads to show, in which order, how and how much to charge for the service, open a wide field for research for all mentioned disciplines. These search for mechanisms that satisfy the interest of the different involved actors (editors, advertisers and users), with efficiency and practicity properties suitable for the characteristics of the application (massivity, speed of the answer, economic or game theoretic properties, etc.).\nIn this thesis we analyze general theoretical properties of the mentioned decisions, as well as propose some particular cases, in the form of algorithms, with interesting properties. In particular, we aim for a characterization of the family of truthful auctions, i.e., mechanisms of selection and payment that incentive the advertisers to reveal their true value they assign to a click in their ad. From such a characterization, we develop many tools to build truthful auctions or extend existing auctions while preserving some good properties. The obtained results are oriented to provide new tools to the participants of this important and novel economic activity.\nAs our main results, we present the rst class of truthful auctions for the context of sponsored search without further restrictions. This class generalizes the laddered auctions presented in [AGM06] and the stochastic auctions with condex pricing presented in [MCW05], joining both results under the same framework. We also proved that under certain conditions usual in the context of application, the class we provide is unique, which leads us to an important corollary of a purely arithmetic characterization of all truthful auctions for sponsored search, that can replace the regular definition, based on the behavior of the involved agents, which is more difficult to handle in many cases. \nFinally, we introduce some methods to, given simple truthful auctions, generate other more complex that maintain truthfulness, with guarantees in respect of the changes on the editor revenue when introducing the modification. In the process, we found upper bounds on the mentioned revenue when passing from a single-slot framework to a multi-slot one, or when going from many identical slots to a context in which slots have different visibility. This extensions have direct practical applications, which we also mention.Fil:Heiber, Pablo Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

A computational perspective on normal numbers

La normalidad es una forma débil de azar. Un número real es normal en una base entera dada si su expansión en esa base es balanceada: todos los bloques de la misma cantidad de dígitos tienen igual frecuencia en la expansión. La normalidad absoluta es normalidad en toda base. En esta tesis resolvemos varios problemas sobre normalidad: La existencia de números absolutamente normales computables era conocida, pero no se conocía ningún algoritmo que computara uno en tiempo polinomial. Nosotros damos un algoritmo que computa uno en tiempo apenas mayor a cuadrático. Mostramos que el conjunto de números absolutamente normales, como subconjunto de los reales, no tiene otras propiedades aritméticas que las impuestas por la definición de normalidad. Técnicamente, demostramos que el conjunto de números absolutamente normales es π°3-completo. Extendemos la caracterización conocida de normalidad en términos de incompresibilidad mediante autómatas finitos. Analizamos exhaustivamente todas las maneras de mejorar un simple autómata finito agregando memoria de diferentes formas, permitiendo no-determinismo y permitiendo la lectura de la entrada más de una vez. Demostramos que la normalidad se preserva bajo reglas de selección basadas en préfijos finitos o sufijos infinitos reconocidos por autómatas finitos, pero no ambos simultáneamente. Esto extiende un resultado conocido para el caso de prefijos.Normality is a weak form of randomness. A real number is normal to a given integer base if its expansion in that base is balanced: all blocks of the same number of digits occur with the same frequency in the expansion. Absolute normality is normality to all bases. We solve several problems on normality: It was known that computable absolutely normal numbers exist, but no algorithm was known to compute one in polynomial time. We give an algorithm that computes one in just above quadratic time. We show that the set of absolutely normal numbers, as a subset of the real numbers, has no other arithmetical properties than those imposed by the definition of normality. Technically, we prove that the set of absolutely normal numbers is π°3-complete. We extend the known characterization of normality in terms of incompressibility by deterministic finite automata. We exhaust all ways of enhancing a simple finite state automaton by adding memory in different forms, allowing non-determinism, and allowing to read the input more than once. We prove that normality is preserved by selection rules based on finite pre- fixes or infinite suffixes being recognized by finite automata, but not both simultaneously. This extends a known result about the prefixes case.Fil:Heiber, Pablo Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

Una perspectiva computacional sobre números normales

La normalidad es una forma débil de azar. Un número real es normal en una base entera dada si su expansión en esa base es balanceada: todos los bloques de la misma cantidad de dígitos tienen igual frecuencia en la expansión. La normalidad absoluta es normalidad en toda base. En esta tesis resolvemos varios problemas sobre normalidad: La existencia de números absolutamente normales computables era conocida, pero no se conocía ningún algoritmo que computara uno en tiempo polinomial. Nosotros damos un algoritmo que computa uno en tiempo apenas mayor a cuadrático. Mostramos que el conjunto de números absolutamente normales, como subconjunto de los reales, no tiene otras propiedades aritméticas que las impuestas por la definición de normalidad. Técnicamente, demostramos que el conjunto de números absolutamente normales es π°3-completo. Extendemos la caracterización conocida de normalidad en términos de incompresibilidad mediante autómatas finitos. Analizamos exhaustivamente todas las maneras de mejorar un simple autómata finito agregando memoria de diferentes formas, permitiendo no-determinismo y permitiendo la lectura de la entrada más de una vez. Demostramos que la normalidad se preserva bajo reglas de selección basadas en préfijos finitos o sufijos infinitos reconocidos por autómatas finitos, pero no ambos simultáneamente. Esto extiende un resultado conocido para el caso de prefijos