Uniform estimates for polyharmonic Green functions in domains with small holes

We prove a pointwise control for the Green's function of polyharmonic operators with holes: this control is uniform while holes shrink. For the usual Laplacian, such a control is given by the maximum principle; the techniques developed here applies to general polyharmonic operators for which there is no comparison principle

Optimal estimates from below for biharmonic Green functions

Optimal pointwise estimates are derived for the biharmonic Green function under Dirichlet boundary conditions in arbitrary $C^{4,\gamma}$-smooth domains. Maximum principles do not exist for fourth order elliptic equations and the Green function may change sign. It prevents using a Harnack inequality as for second order problems and hence complicates the derivation of optimal estimates. The present estimate is obtained by an asymptotic analysis. The estimate shows that this Green function is positive near the singularity and that a possible negative part is small in the sense that it is bounded by the product of the squared distances to the boundary.Comment: 11 pages. To appear in "Proceedings of the AMS

The Dirichlet problem for supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity

AbstractFor a semilinear biharmonic Dirichlet problem in the ball with supercritical power-type nonlinearity, we study existence/nonexistence, regularity and stability of radial positive minimal solutions. Moreover, qualitative properties, and in particular the precise asymptotic behaviour near x=0 for (possibly existing) singular radial solutions, are deduced. Dynamical systems arguments and a suitable Lyapunov (energy) function are employed

PREISWERTE MATHEMATIK

1901 war ein großes Jahr für die Naturwissenschaften: Gestiftet von dem schwedischen Chemiker und Industriellen Alfred Nobel wurden fünf Jahre nach dessen Tod zum ersten Mal die Nobelpreise für Physik, Chemie und Medizin vergeben. In gleicher Weise werden auch besondere Verdienste in der Literatur, den Wirtschaftswissenschaften oder um den Weltfrieden gewürdigt. Einen Nobelpreis für Mathematik, den gibt es allerdings nicht! Unter der Tatsache, dass ihre Wissenschaft mit dem Nobelpreis bestenfalls mittelbar durch ihre Einwirkung auf Nachbardisziplinen gewürdigt wird, haben die Mathematiker im letzten Jahrhundert ganz erheblich gelitten. Gewährleistet das Preisgeld von derzeit 10000000 schwedischen Kronen (www.nobel.se) dem Preisträger über Jahre hinweg unvergleichlich gute Forschungsbedingungen, so liegt aber die eigentliche Bedeutung der Preise in der Popularisierung der gewürdigten Wissenschaftler und vor allem ihrer Disziplinen. Zumindest einmal im Jahr ein Zwei-Minuten-Beitrag in der Tagesschau, ganze Seiten im Wissenschaftsteil der großen Zeitungen: Welch eine Gelegenheit, allen Mitbürgerinnen und Mitbürgern die Schönheit und die Wichtigkeit der eigenen Wissenschaft vor Augen zu führen. Und alles das blieb der Mathematik bislang verwehrt. Warum