Constrained Non-Monotone Submodular Maximization: Offline and Secretary Algorithms

Constrained submodular maximization problems have long been studied, with near-optimal results known under a variety of constraints when the submodular function is monotone. The case of non-monotone submodular maximization is less understood: the first approximation algorithms even for the unconstrainted setting were given by Feige et al. (FOCS '07). More recently, Lee et al. (STOC '09, APPROX '09) show how to approximately maximize non-monotone submodular functions when the constraints are given by the intersection of p matroid constraints; their algorithm is based on local-search procedures that consider p-swaps, and hence the running time may be n^Omega(p), implying their algorithm is polynomial-time only for constantly many matroids. In this paper, we give algorithms that work for p-independence systems (which generalize constraints given by the intersection of p matroids), where the running time is poly(n,p). Our algorithm essentially reduces the non-monotone maximization problem to multiple runs of the greedy algorithm previously used in the monotone case. Our idea of using existing algorithms for monotone functions to solve the non-monotone case also works for maximizing a submodular function with respect to a knapsack constraint: we get a simple greedy-based constant-factor approximation for this problem. With these simpler algorithms, we are able to adapt our approach to constrained non-monotone submodular maximization to the (online) secretary setting, where elements arrive one at a time in random order, and the algorithm must make irrevocable decisions about whether or not to select each element as it arrives. We give constant approximations in this secretary setting when the algorithm is constrained subject to a uniform matroid or a partition matroid, and give an O(log k) approximation when it is constrained by a general matroid of rank k.Comment: In the Proceedings of WINE 201

Universal Sequencing on an Unreliable Machine

We consider scheduling on an unreliable machine that may experience unexpected changes in processing speed or even full breakdowns. Our objective is to minimize ∑ wjf(Cj) for any nondecreasing, nonnegative, differentiable cost function f(Cj). We aim for a universal solution that performs well without adaptation for all cost functions for any possible machine behavior. We design a deterministic algorithm that finds a universal scheduling sequence with a solution value within 4 times the value of an optimal clairvoyant algorithm that knows the machine behavior in advance. A randomized version of this algorithm attains in expectation a ratio of e. We also show that both performance guarantees are best possible for any unbounded cost function. Our algorithms can be adapted to run in polynomial time with slightly increased cost. When jobs have individual release dates, the situation changes drastically. Even if all weights are equal, there are instances for which any universal solution is a factor of Ω(log n / log log n) worse than an optimal sequence for any unbounded cost function. Motivated by this hardness, we study the special case when the processing time of each job is proportional to its weight. We present a nontrivial algorithm with a small constant performance guarantee

"Präventivkrieg" als Ausweg? Die USA und der Irak

'In der amerikanischen Irak-Debatte geht es nur vordergründig um den Kampf gegen den Terrorismus. Dieser ist vor allem die innenpolitisch nützliche Legitimation für den Sturz eines nach Massenvernichtungswaffen strebenden Regimes, das als wachsende geopolitische Bedrohung strategischer Interessen in einer kritischen Region gesehen wird. Derzeit verfolgen die USA eine zweigleisige und zugleich zweideutige Politik: Zum einen soll die Eindämmung des Irak durch Sanktionen und Rüstungsinspektionen verstärkt werden, zum anderen werden die militärischen Optionen für einen 'Regimewechsel' vorbereitet. Die Rhetorik ist eindeutig auf den Regimesturz hin orientiert, die militärischen, geheimdienstlichen und politischen Vorbereitungen für eine Intervention und die Zeit danach sind im Gange. Dass die Drohung mit militärischen Optionen in eine politische Lösung - sprich in ein neues Rüstungsüberwachungssystem - münden werde, ist die auf europäischer Seite weithin gehegte Hoffnung. Es ist jedoch sehr fraglich, ob den USA unter Präsident Bush an einer solchen Lösung gelegen wäre. Die Forderung nach neuen Rüstungsinspektionen hat für Teile der Administration in erster Linie die Funktion, die militärische Option zu legitimieren. Kann der massive Einsatz amerikanischer Bodentruppen vermieden und zumindest der Eindruck multilateraler Einbettung erzeugt werden, dann dürften amerikanische Öffentlichkeit und Kongress ein militärisches Vorgehen mit großer Mehrheit unterstützen. Noch sind führende Politiker im Kongress jedoch nicht der Auffassung, dass der Irak eine unmittelbare, ein baldiges militärisches Vorgehen rechtfertigende Bedrohung darstellt. Präsident Bush mag aus Gründen des dauerhaften politischen Rückhalts gut beraten sein, vor einem Krieg gegen den Irak die Zustimmung des Kongresses einzuholen. Erzwingen wird der Kongress seine Mitsprache jedoch nicht. Ungewiss ist, ob der Präsident am Ende vor der vollen Konsequenz eines militärischen Vorgehens - nämlich Besetzung und Restrukturierung des politischen Systems des Irak - aufgrund der politischen und strategischen Risiken und Kosten zurückschreckt. Staatsmänner sind jedoch mitunter zu äußerst riskanten Schritten bereit, wenn die künftige Bedrohung als so groß gewertet wird, dass ein Krieg als das geringere Risiko eingeschätzt wird, oder wenn am Ende einer erfolglosen Drohpolitik die eigene Glaubwürdigkeit und die der Nation auf dem Spiel zu stehen scheint. Ein ohne Mandat der Vereinten Nationen geführter Präventivkrieg gegen den Irak, um dessen Regime zu stürzen, wäre eine völkerrechtlich, politisch und ethisch höchst problematische Entwicklung: völkerrechtlich, weil die Beschränkungen für den Einsatz militärischer Macht gelockert würden; politisch, weil es sich um einen Präzedenzfall handeln würde, auf den sich andere berufen könnten; ethisch, weil sich ein präemptives militärisches Handeln nur angesichts eines drohenden Krieges rechtfertigen lässt - wenn der Verzicht auf Präemption eine ernsthafte Gefährdung für die territoriale Integrität und politische Unabhängigkeit eines Staates darstellen würde. So wünschenswert ein Ende der Diktatur im Irak wäre - die Entscheidung zu einem Krieg birgt so viele völkerrechtliche, ethische und strategische Probleme, dass die Alternative, nämlich eine robuste Eindämmungspolitik, nicht vorschnell als aussichtslos und zu riskant verworfen werden sollte. Gerade die Einschätzung, dass die USA auf einen militärischen Angriff gegen den Irak zusteuern, hat eine veränderte Konstellation geschaffen, die von europäischer Seite für eine Verstärkung der Eindämmungspolitik genutzt werden könnte.' (Autorenreferat

The Facility Location Problem with General Cost Functions

In this paper we introduce a generalized version of the facility location problem in which the facility cost is a function of the number of clients assigned to the facility. We focus on the case of concave facility cost functions. We observe that this problem can be reduced to the uncapacitated facility location problem. We analyze a natural greedy algorithm for this problem and show that its approximation factor is at most 1.861. We also consider several generalizations and variants of this problem

Improved Local Search for Universal Facility Location

International audienceWe consider the universal facility location problem in which the goal is to assign clients to facilities in order to minimize the sum of connection and facility costs. The connection cost is proportional to the distance each client has to travel to its assigned facility, whereas the cost of a facility is a non-decreasing function depending on the number of clients assigned to the facility. This model generalizes several variants of facility location problems. We present a (5.83 + ε) approximation algorithm for this problem based on local search technique

Improved approximation algorithms for label cover problems

Abstract In this paper we consider both the maximization variant Max Rep and the minimization variant Min Rep of the famous Label Cover problem, for which, till now, the best approximation ratios known were O ( √ n). In fact, several recent papers reduced Label Cover to other problems, arguing that if better approximation algorithms for their problems existed, then a o ( √ n)-approximation algorithm for Label Cover would exist. We show, in fact, that there are a O(n 1/3)-approximation algorithm for Max Rep and a O(n 1/3 log 2/3 n)-approximation algorithm for Min Rep. In addition, we also exhibit a randomized reduction from Densest k-Subgraph to Max Rep, showing that any approximation factor for Max Rep implies the same factor (up to a constant) for Densest k-Subgraph.

Approximation algorithms for disjoint st-paths with minimum activation cost

In network activation problems we are given a directed or undirected graph G = (V,E) with a family {f (x, x) : (u,v) ∈ E} of monotone non-decreasing activation functions from D to {0,1}, where D is a constant-size domain. The goal is to find activation values x for all v ∈ V of minimum total cost Σ x such that the activated set of edges satisfies some connectivity requirements. Network activation problems generalize several problems studied in the network literature such as power optimization problems. We devise an approximation algorithm for the fundamental problem of finding the Minimum Activation Cost Pair of Node-Disjoint st-Paths (MA2NDP). The algorithm achieves approximation ratio 1.5 for both directed and undirected graphs. We show that a ρ-approximation algorithm for MA2NDP with fixed activation values for s and t yields a ρ-approximation algorithm for the Minimum Activation Cost Pair of Edge-Disjoint st-Paths (MA2EDP) problem. We also study the MA2NDP and MA2EDP problems for the special case |D| = 2