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Logics of Finite Hankel Rank
We discuss the Feferman-Vaught Theorem in the setting of abstract model
theory for finite structures. We look at sum-like and product-like binary
operations on finite structures and their Hankel matrices. We show the
connection between Hankel matrices and the Feferman-Vaught Theorem. The largest
logic known to satisfy a Feferman-Vaught Theorem for product-like operations is
CFOL, first order logic with modular counting quantifiers. For sum-like
operations it is CMSOL, the corresponding monadic second order logic. We
discuss whether there are maximal logics satisfying Feferman-Vaught Theorems
for finite structures.Comment: Appeared in YuriFest 2015, held in honor of Yuri Gurevich's 75th
birthday. The final publication is available at Springer via
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-23534-9_1
A Language-Independent Proof System for Mutual Program Equivalence
International audienceTwo programs are mutually equivalent if they both diverge or they end up in similar states. Mutual equivalence is an adequate notion of equivalence for programs written in deterministic languages. It is useful in many contexts, such as capturing the correctness of, program transformations within the same language, or capturing the correctness of compilers between two different languages. In this paper we introduce a language-independent proof system for mutual equivalence, which is parametric in the operational semantics of two languages and in a state-similarity relation. The proof system is sound: if it terminates then it establishes the mutual equivalence of the programs given to it as input. We illustrate it on two programs in two different languages (an imperative one and a functional one), that both compute the Collatz sequence.Deux programmes sont en équivalence mutuelle s'ils divergent tous les deux ou s'ils terminent dans des états similaires. L'équivalence mutuelle est une notion adéquate d'équivalence pour les programmes déterministes. Elle est utile dans divers contextes, parmi lesquels on peut citer la preuve de transformations de programmes dans un langage donné, et la preuve de compilateurs entre deux langages. Dans cet article nous introduisons un système déductif pour l'équivalence mutuelle, qui a comme paramètres les sémantiques opérationnelles de deux langages ainsi qu'une relation de similitude entre états des programmes. Le système déductif est correct: lorsqu'il termine, il démontre l'équivalence des programmes qui lui sont donnés en entrée. Nous l'illustrons sur deux programmes, appartenant à des langages différents : l'un impératif, l'autre fonctionnel, qui calculent la séquence de Collatz de deux manières différentes