On Rosenau-Type Approximations to Fractional Diffusion Equations

Owing to the Rosenau argument in Physical Review A, 46 (1992), pag. 12-15, originally proposed to obtain a regularized version of the Chapman-Enskog expansion of hydrodynamics, we introduce a non-local linear kinetic equation which approximates a fractional diffusion equation. We then show that the solution to this approximation, apart of a rapidly vanishing in time perturbation, approaches the fundamental solution of the fractional diffusion (a L\'evy stable law) at large times

One-Dimensional Fokker-Planck Equations and Functional Inequalities for Heavy Tailed Densities

We present and discuss connections between the problem of trend to equilibrium for one-dimensional Fokker-Planck equations modeling socio-economic problems, and one-dimensional functional inequalities of the type of Poincare, Wirtinger and logarithmic Sobolev, with weight, for probability densities with polynomial tails. As main examples, we consider inequalities satisfied by inverse Gamma densities, taking values on R+, and Cauchy-type densities, taking values on R

Applications de l’analyse harmonique réelle à l'étude des équations de Navier-Stokes et de Schrödinger non linéaire

In the first part of this thesis we deal with the problems of existence, uniqueness and regularity of weak solutions of the three dimensional, incompressible Navier-Stokes system in the whole space; in the second part, we study the existence of selfsimilar solutions of a class of nonlinear Schrödinger equations.The most important results in chapter 1 are an equivalence theorem for the differential and integral for­ mulations of the Navier-Stokes system in quite a large functional context and a uniqueness result for the con­ tinuous in time solutions (the so-called mild solutions) valued in the Lebesgue, Sobolev, Besov and Morrey- Campanato critical spaces. We prove in particular the uniqueness of mild solutions in C([0,T], L^3(R^3)). In chapter 2, we deal with the problem of the existence of mild solutions under T. Kato’s regularity assumption which ensures that such a solution is a classical one at every positif time. We prove a result of persistence of the regularity of the Koch and Tataru solutions in the space of derivatives of the BMO space if the datum verifies some of differentiability properties. The existence time of such solutions only depends on the very weak Koch and T ataru norm of the datum; this norm is strictly linked with oscillation properties of functions. In chapter 3 we still consider the persistence of an extra property of the datum, namely the localisation and oscillation of its Laplacian. The unique solution in the critical Lebesgue space keeps verifying this at least at the beginning of its evolution.In chapter 4, we study a class of nonlinear Schrödinger equations, with polynomial nonlinearity of order between 1 and 2. Through an independent analysis of the linear and nonlinear terms, we prove the existence of selfsimilar solutions in some invariant functional spaces built over Sobolev’s spaces. We also study the asymptotical behaviour at infinity for solutions belonging to the same functional frame.Dans la première partie de la thèse on traite les problères de l'existence, unicité et régularité des solutions faibles du système de Navier-Stokes tridimensionnel incompressible dans l'espace tout entier; dans la deuxième partie on considère l'existence de solutions autosimilaires pour une classe d'équations de Schrödinger non linéaires.Les résultats fondamentaux du premier chapitre sont un théorème d'équivalence des formulations différentielle et intégrale du système de Navier-Stokes dans un cadre fonctionnel assez large et un résultat d'unicité des solutions milds (continues en temps) à valeurs dans les espaces fonctionnels critiques de Lebesgue, de Sobolev, de Besov et de Morrey-Campanato. On démontre notamment l'unicité des solutions milds dans C([0,T], L^3(R^3)). Dans le deuxième chapitre on traite la question de l'existence des solutions milds sous une hypothèse de régularité introduite par T. Kato qui suffit à garantir qu'il s'agit de solutions classiques en tout instant positif. On démontre alors un résultat de persistance de la régularité des solutions de Koch et Tataru dans l'espace des dérivées de BMO issues d'une donnée initiale vérifiant des propriétés supplémentaires de dérivabilité. Le temps d'existence de telles solutions ne dépend que de la norme très faible de Koch et Tataru, qui est un indicateur des propriétés d'oscillation de la fonction considérée. Dans le troisième chapitre, il est encore question de persistance d'une propriété supplémentaire vérifiée par la donnée initiale, notamment de localisation et d'oscillation de son laplacien. La solution, unique dans l'espace de Lebesgue critique, preserve alors cette propriété au moins au début de son évolution.Dans le quatrième chapitre on étudie une classe d'équations de Schrödinger non linéaires, avec non-linéarité polynomiale d'ordre compris entre 1 et 2. À travers une analyse indépendante des termes linéaire et non linéaire, on démontre l'existence de solutions autosimilaires dans des espaces invariants modelés sur les espaces de Sobolev avec une explosion en temps à l'instant initial. On étudie également le comportement asymptotique à l'infini des solutions appartenant à ce cadre fonctionnel

Temi d'esame di Analisi Matematica I. Vol. 2, Limiti e studio di funzione

I due volumi di esercizi di cui questo è il secondo, raccolgono temi d’esame svolti dei corsi di Analisi Matematica 1 (precedentemente denominati Matematica 1) tenuti pres- so la facoltà di Ingegneria dell’Università di Bergamo negli anni 2004-2012. Tutti gli esercizi presentati sono completamente e dettagliatamente svolti. Gli argomenti trattati nel Volume 2 sono limiti e studio di funzione reale di una variabile reale. In particolare, nel capitolo sullo studio di funzione, oltre ai classici studi del grafico di una funzione tramite le sue proprietà essenziali, sono presentati anche esercizi specifici sullo studio di continuità e derivabilità, sulla determinazione della retta tangente e sui polinomi di Taylor, oltre che sulla composizione e inversione di funzioni