Classification of grouplike categories

In this paper we study grouplike monoids, these are monoids that contain a group to which we add an ordered set of idempotents. We classify finite categories with two objects having grouplike endomorphism monoids, and we give a count of certain categories with grouplike monoids.Comment: Minor changes in Lemma 3.18. Added Definition 4.3, Lemma 4.4 and Remark 4.5. And the proof of Proposition 4.6 is improve

Investigation des catégories finies

The main objective of this thesis is to classify finite categories in terms of the algebraic structure of their endomorphism monoids. Using a program called Prover9/Mace4, we give a count to the number of categories with two objects such that every set of morphisms has cardinal 3. The data inspires us to study the structure of the monoids in order to understand to enumeration problem more. In this thesis, we study three types of monoids: grouplike, rectangular bands and zero monoids.Grouplike monoids are monoids such that they contain a subgroup and an ordered set of idempotents. We study the action of the groups and the interaction between each others.We also give some properties about the idempotent sets.Rectangular bands are idempotent semigroups with the property xyz = xz. We provethat the matrix of a category with rectangular bands as endomorphism monoids has some restrictions on its coefficients.Zero monoids are monoids that have a zero element. We prove that the existence of a zero element in the monoids induces the existence of a zero element in each set of morphisms.The results about these monoids clarify the data obtained from the enumeration and helpus give an explanation to it.L'objectif principal de cette thèse est de classer les catégories finies en fonction de la structure algébrique de leurs monoïdes d'endomorphisme. À l'aide d'un programme appelé Prover9/Mace4, nous dénombrons les catégories avec deux objets tel que chaque ensemble de morphismes a un cardinal égal à 3. Les données nous incitent à étudier la structure des monoïdes afin de mieux comprendre le problème d'énumération. Dans cette thèse, nous étudions trois types de monoïdes : monoïdes de type groupe, bandes rectangulaires et monoïdes avec un élément 0.Les monoïdes de type groupe sont des monoïdes construits à partir d'un groupe auquel on ajoute un ensemble ordonné d'idempotents. Nous étudions l'action des groupes et l'interaction entre eux. Nous donnons également quelques propriétés sur les ensemblesd'idempotents.Les bandes rectangulaires sont des semigroupes idempotents avec la propriété xyz = xz.Nous prouvons que la matrice d'une catégorie à bandes rectangulaires comme monoïdes d'endomorphisme a certaines restrictions sur ses coefficients.Les monoïdes avec un élément 0 sont des monoïdes qui ont un élément absorbant. Nousprouvons que l'existence d'un élément 0 dans les monoïdes induit l'existence d'un élément 0 dans chaque ensemble de morphismes.Les résultats sur ces monoïdes clarifient les données obtenues à partir de l'énumération et nous aident à en donner une explication

Investigation of finite categories

L'objectif principal de cette thèse est de classer les catégories finies en fonction de la structure algébrique de leurs monoïdes d'endomorphisme. À l'aide d'un programme appelé Prover9/Mace4, nous dénombrons les catégories avec deux objets tel que chaque ensemble de morphismes a un cardinal égal à 3. Les données nous incitent à étudier la structure des monoïdes afin de mieux comprendre le problème d'énumération. Dans cette thèse, nous étudions trois types de monoïdes : monoïdes de type groupe, bandes rectangulaires et monoïdes avec un élément 0.Les monoïdes de type groupe sont des monoïdes construits à partir d'un groupe auquel on ajoute un ensemble ordonné d'idempotents. Nous étudions l'action des groupes et l'interaction entre eux. Nous donnons également quelques propriétés sur les ensemblesd'idempotents.Les bandes rectangulaires sont des semigroupes idempotents avec la propriété xyz = xz.Nous prouvons que la matrice d'une catégorie à bandes rectangulaires comme monoïdes d'endomorphisme a certaines restrictions sur ses coefficients.Les monoïdes avec un élément 0 sont des monoïdes qui ont un élément absorbant. Nousprouvons que l'existence d'un élément 0 dans les monoïdes induit l'existence d'un élément 0 dans chaque ensemble de morphismes.Les résultats sur ces monoïdes clarifient les données obtenues à partir de l'énumération et nous aident à en donner une explication.The main objective of this thesis is to classify finite categories in terms of the algebraic structure of their endomorphism monoids. Using a program called Prover9/Mace4, we give a count to the number of categories with two objects such that every set of morphisms has cardinal 3. The data inspires us to study the structure of the monoids in order to understand to enumeration problem more. In this thesis, we study three types of monoids: grouplike, rectangular bands and zero monoids.Grouplike monoids are monoids such that they contain a subgroup and an ordered set of idempotents. We study the action of the groups and the interaction between each others.We also give some properties about the idempotent sets.Rectangular bands are idempotent semigroups with the property xyz = xz. We provethat the matrix of a category with rectangular bands as endomorphism monoids has some restrictions on its coefficients.Zero monoids are monoids that have a zero element. We prove that the existence of a zero element in the monoids induces the existence of a zero element in each set of morphisms.The results about these monoids clarify the data obtained from the enumeration and helpus give an explanation to it

Simple semigroups in finite categories

12 pagesIn this paper, we classify finite categories with two objects such that one of the endomorphism monoids is a group. We prove that having a group on one side affects the structure of the other endomorphism monoid, and we prove that it is going to contain a simple semigroup. We also prove the other direction, that if we have a Rees matrix semigroup we can construct a category with two objects such that one of the objects is a group