Weyl chamber flow on irreducible quotients of products of PSL(2,R)

International audienceWe study the topological dynamics of the action of the diagonal subgroup on quotients Gamma\PSL(2,R)*PSL(2,R), where Gamma is an irreducible lattice. Closed orbits are described and a set of points of dense orbit is explicitly given. Such properties are expressed using the Furstenberg boundary of the symmetric space H*H

Dynamique topologique d'une action de groupe sur un espace homogène : exemples d'actions unipotente et diagonale

This thesis deals with two examples of group actions on homogeneous spaces and their topological dynamics. Each of them is conjugate to a flow on a fibered space over a locally symmetric space. The first chapter contains generalities about hyperbolic spaces, their products and their isometries groups. The second chapter is devoted to the action of the upper unipotent subgroup on the quotient of the projective unimodular complex $2\times2$ group by a discrete subgroup. This action is conjugate to a frame flow on the tangent bundle of an hyperbolic 3-manifold. Dense and closed orbits are characterised. Hence we obtain a dynamical characterisation of different classes of Kleinian groups (geometrically finite, convex-cocompact and lattices). In the third chapter, we consider the product of two copies of the real projective unimodular $2\times2$ group and study the action of the product of diagonal subgroups on finite-volume quotients. When such a quotient is irreducible, Margulis conjectured that every orbit is either dense or closed. Closed orbits are characterised and we exhibit points of the Furstenberg boundary giving rise to dense orbits. In the last chapter, we look more closely at the special case of Hilbert modular lattices. We study the relation between the above conjecture about orbits and the diophantine approximation of pairs of real numbers by a real quadratic field.L'objet de cette thèse est l'étude de deux exemples d'action d'un groupe sur un espace homogène et de leur dynamique topologique. Chacune de ces actions est conjuguée à un flot sur une fibration sur un espace localement symétrique. Le premier chapitre est consacré à des généralités sur les espaces hyperboliques, leur produit et leur groupe d'isométries. Dans le second chapitre, nous étudions l'action du groupe unipotent supérieur sur le quotient du groupe projectif unimodulaire complexe $2\times2$ par un sous-groupe discret. Cette action est conjuguée à un flot des repères orthonormés directs de l'espace tangent d'une variété hyperbolique de dimension $3$. Nous caractérisons les orbites denses et les orbites fermées et obtenons ainsi une caractérisation dynamique de certaines catégories de groupes kleiniens (géométriquement finis, convexe-cocompacts, réseaux). Nous considérons, dans le troisième chapitre, le produit de deux groupes projectifs unimodulaires réels $2\times2$ et nous étudions l'action du produit des sous-groupes diagonaux sur les quotients de mesure finie. Lorsqu'un tel quotient est irréductible, une conjecture de Margulis affirme que les orbites sont alors denses ou fermées. Nous caractérisons les orbites fermées et nous exhibons certains points de la frontière de Furstenberg du bi-disque donnant lieu à des orbites denses. Dans le quatrième chapitre, nous relions, pour les réseaux de Hilbert, la conjecture précédente à l'approximation diophantienne des couples de réels par les éléments d'un corps réel quadratique

Dynamique topologique d'une action de groupe sur un espace homogène (exemples d'actions unipotente et diagonale)

Deux exemples de systèmes dynamiques définis par l'action d'un sous-groupe sur un espace homogène sont étudiés. Le premier est défini par l'action d'un sous-groupe unipotent et est conjugué à un flot sur l'espace des repères tangents à une variété hyperbolique de dimension 3. Les orbites denses et les orbites fermées sont caractérisées et une classification de différentes catégories de groupes kleiniens en termes de dynamique topologique est ainsi obtenue. L'action linéaire d'un groupe kleinien sur le plan complexe est étudiée par dualité. Le second exemple, défini par l'action d'un sous-groupe diagonal, est conjugué au flot des chambres de Weyl sur un quotient de volume fini du produit de deux plans hyperboliques. Les orbites fermées sont décrites et plusieurs conditions suffisantes de densité des orbites sont explicitées. Dans le cas d'un quotient par un réseau de Hilbert, les orbites bornées sont caractérisées à l'aide d'une notion d'approximation diophantienne.VANNES-BU Sciences (562602102) / SudocRENNES1-BU Sciences Philo (352382102) / SudocSudocFranceF

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