Weakly turbulent plasma processes in the presence of inverse power-law velocity tail population

Observations show that plasma particles in the solar wind frequently display power-law velocity distributions, which can be isotropic or anisotropic. Particularly, the velocity distribution functions of solar wind electrons are frequently modeled as a combination of a background Maxwellian distribution and a non-thermal distribution which is known as the “halo” distribution. For fast solar wind conditions, highly anisotropic field-aligned electrons, denominated as the “strahl” distribution, are also present. Motivated by these observations, the present paper considers a tenuous plasma with Maxwellian ions, and electrons described by a summation of an isotropic Maxwellian distribution and an isotropic Kappa distribution. The formalism of weak turbulence theory is utilized in order to discuss the spectra of electrostatic waves that must be present in such a plasma, satisfying the conditions of quasi-equilibrium between the processes of spontaneous fluctuations and of induced emission. The kappa index and relative density of the Kappa electron distribution are varied. By taking into account the effects due to electromagnetic waves into the weak turbulence formalism, we investigate the electromagnetic spectra that satisfy the conditions of “turbulent equilibrium,” and also the time evolution of the wave spectra and of the electron distribution, which occurs in the case of the presence of an electron beam in the electron distribution

A interação feixe-plasma como aplicação da teoria cinética de plasmas na aproximação quase-linear

Neste trabalho vamos estudar o fenômeno de interação feixe-plasma com o uso do formalismo quase-linear, em duas dimensões. Para tal, iniciamos fazendo uma revisão da teoria cinética de plasmas, onde apresentamos em detalhes o processo de linearização do sistema de equações Vlasov-Maxwell, usando como exemplo um plasma Maxwelliano e considerando apenas a propagação de ondas eletrostáticas de alta frequência. Nessa revisão, destacamos a condição para a ocorrência de amortecimento das ondas, caracterizando o amortecimento de Landau. Em seguida discutimos a aproximação quase-linear da equação de Vlasov, destacando as diferenças entre esta abordagem e a aproximação linear, para então, deduzirmos a equação de difusão característica da teoria quase-linear, obtendo a expressão de seu coeficiente de difusão e a expressão da variação temporal da amplitude do espectro, e discutindo detalhadamente os limites de validade e o significado físico das equações do formalismo quase-linear. Na parte que se refere ao fenômeno de interação feixe-plasma, é feita uma breve explicação sobre os processos que ocorrem quando um segundo pico é formado na função de distribuição pela incidência do feixe de elétrons sobre o plasma, onde evidenciamos a influência dos efeitos não-lineares na evolução temporal da função de distribuição do plasma durante a interação. Reproduzimos alguns resultados anteriores, obtidos pelos integrantes do Grupo de Física de Plasmas, usando uma abordagem em que as equações e o código de integração numérica, foram escritos em coordenadas cartesianas. Discutimos a ocorrência de instabilidade numérica durante a tentativa feita de inclusão de um termo de colisões ao programa, e a ideia de buscar uma alternativa que pudesse ser mais adequada às características do termo colisional, envolvendo coordenadas polares. Apresentamos então as equações quase-lineares em coordenadas polares e descrevemos o procedimento feito para a mudança de coordenadas. Comparamos os resultados obtidos com a integração numérica das equações nessa abordagem com resultados obtidos em coordenadas cartesianas, em condições equivalentes, de onde conclui-se que a nova abordagem que usa coordenadas polares está pronta para receber o termo colisional.In this work we are going to study the plasma-beam interaction phenomenon using the quasi-linear formalism in two dimensions. For this end, we begin by reviewing the kinetic theory of plasmas, where we show in details the linearization process of the Vlasov-Maxwell system of equations, by using as an example a Maxwellian plasma and considering only the propagation of high-frequency electrostatic waves. In this review, we highlight the condition for the occurrence of wave damping, characterizing the Landau damping. Then we discuss the quasi-linear approximation of the Vlasov equation, highlighting the differences between this approach and the linear approximation, to then deduce the characteristic quasi-linear diffusion equation, obtaining the expression of its diffusion coefficient, and the expression for the temporal variations of the espectral amplitude, by discussing in details validity limits and the physical meaning of the equations of the quasi-linear formalism. In the part that refers to the beam-plasma interaction phenomenon, it is made a brief explanation about the process that occurs when a second peak is formed in the distribution function due to the incidence of the electron beam on the plasma, where we evidenciate the influence of the non-linear effects on the temporal evolution of the plasma distribution function during the interaction. We reproduce some previous results, obtained by members of the Plasma Physics Group, by using an approach where the equations, and the numerical integration code, were written in cartesian coordinates. We discuss the occurrence of numerical instability during the attempt of inclusion of a collision term to the code, and the idea of seeking for an alternative that could be more suitable to characteristics of the collisional term, envolving polar coordinates. Then, we present the quasi-linear equations in polar coordinates, and describe the procedures used to perform the change of coordinates. We compare the results obtained by numerical integration of the equations in this approach with the results obtained in cartesian coordinates, for equivalent conditions, from where we conclude that the new approach, using polar coordinates, is ready to receive the collisional term

Evolução temporal de processos fracamente turbulentos na presença de efeitos colisionais em plasmas astrofísicos

The weak turbulence theory has been an important theoretical tool for the study of nonlinear kinetic instabilities in plasmas. For a long time, this theory treated exclusively of the study of oscillatory processes and its influence in the plasma dynamics. The long-lasting timescale of nonlinear processes, however, suggests that collisional processes might have some effect in the late plasma dynamics, acting alongside nonlinear collective effects. In a recent work [P. H. Yoon et al., Phys. Rev. E 93:033203 (2016)], collisional effects and collective processes were systematically incorporated, starting from first principles, in the weak turbulence theory equations, considering electrostatic oscillations. The outcome of this innovative approach was a formal mathematical expression for the collisional damping rate for Langmuir and ion-sound waves, and the discovery of a new fundamental process of emission of electrostatic fluctuations, in the ion-sound and Langmuir frequency range, caused by binary interactions of particles, named electrostatic bremsstrahlung. In the present study, we introduce the first numerical analysis of these two new equations and discuss the relevance of these numerical results in the solar physics scope. The first work to be discussed concerns the collisional damping equation, and in it, we compare the results of numerical integration of the rigorous expression with the damping rate calculated with the widely applied Spitzer formula. We show that the Spitzer approximation highly over-estimates the intensity of collisional attenuation of plasma waves. The lack of relevance of the collisional damping rate gets further demonstrated when we compare it with the collisionless (Landau) damping rate. In the second work to be discussed, we analyze the so-far ignored electrostatic bremsstrahlung effect. We show that the presence of electrostatic bremsstrahlung emission modifies the Langmuir spectrum, which in turn alters the shape of the initial electron velocity distribution, assumed to be Maxwellian. After a long time-evolution period (numerical integration), the system seems to arrive at a new quasi-steady state, in which the shape of the electron velocity distribution resembles the shape of a core-halo distribution function, i.e., composed by a Maxwellian core and a suprathermal tail. The outcomes of both analyses are unprecedented; the prospects and possibilities for further studies on this subject are promising. In the end, we also present an extra result, indirectly related to the main subject of this doctoral project, regarding the analysis of the complete set of electromagnetic weak turbulence equations, in the presence of a core-halo velocity distribution function.A teoria de turbulência fraca tem sido uma importante ferramenta teórica para o estudo de instabilidades cinéticas não lineares em plasmas. Por um longo tempo, esta teoria tratou exclusivamente do estudo de processos oscilatórios e de sua influência na dinâmica do plasma. Entretanto, a escala de tempo de longa duração dos processos não lineares sugere que processos colisionais podem ter algum efeito na dinâmica do plasma, atuando em conjunto com os efeitos dos processos coletivos não-lineares. Em um trabalho recente [P. H. Yoon et al., Phys. Rev. E 93:033203 (2016)], efeitos colisionais e processos coletivos foram sistematicamente incorporados, partindo de primeiros princípios, nas equações da teoria de turbulência fraca, considerando oscilações eletrostáticas. O resultado dessa abordagem inovadora foi uma expressão matemática formal para a taxa de amortecimento colisional para ondas de Langmuir e íon-acústicas, e a descoberta de um novo processo fundamental de emissão de flutuações eletrostáticas, na faixa de frequência das ondas de Langmuir e das ondas íon-acústicas, causado por interações binárias entre partículas do plasma, nomeado como bremsstrahlung eletrostático. Neste estudo, introduzimos as primeiras análises numéricas relativas a essas duas novas equações e discutimos a relevância desses resultados numéricos no contexto da física solar. O primeiro trabalho a ser discutido se refere à nova equação para o amortecimento colisional, e nele comparamos o resultado da integração numérica dessa expressão, com a largamente usada fórmula de Spitzer. Com isso conseguimos mostrar que a aproximação de Spitzer superestima em muito a intensidade da atenuação colisional das ondas de plasma. Além disso, a falta de relevância da taxa de amortecimento colisional fica demonstrada quando a comparamos com a taxa de amortecimento não colisional (de Landau). No segundo trabalho, analizamos o até então ignorado efeito de bremsstrahlung eletrostático. Mostramos que a presença da emissão de bremsstrahlung eletrostático modifica o espectro das ondas de Langmuir que, por sua vez, altera a forma da função de distribuição inicial dos elétrons, suposta Maxwelliana. Após um longo tempo de evolução temporal (integração numérica), o sistema parece chegar a um novo estado quase-estacionário, no qual a forma da função de distribuição de velocidades dos elétrons lembra a forma de uma função de distribuição núcleo-halo, ou seja, composta por um núcleo Maxwelliano e uma cauda supratérmica. Os resultados de ambas análises são sem precedentes; as perspectivas e as possibilidades para novos estudos neste assunto são promissoras. No final é também apresentado um resultado extra, indiretamente relacionado ao assunto principal desse projeto de trabalho de doutorado, relativo à análise do conjunto completo de equações eletromagnéticas da teoria de turbulência fraca, na presença de uma função de distribuição de velocidades núcleo-halo

Análise não linear da interação feixe-plasma na presença de colisões binárias

A situação em que ocorre a interação entre um feixe de elétrons rápidos e um plasma é considerada um modelo fundamental para o estudo de instabilidades cinéticas em plasmas. A dinâmica não linear desta interação vem sendo amplamente estudada, com a intenção de entender melhor os processos por trás da geração de turbulência de Langmuir, observada durante os chamados type II radio bursts e type III radio bursts. Nesses estudos, é comum que seja suposto um feixe de elétrons de baixa densidade, o que leva a um longo intervalo de evolução temporal, muito maior do que o período das ondas que estão sendo consideradas. Para longos períodos de evolução temporal, uma investigação a respeito da atuação dos efeitos colisionais se faz necessária. No presente trabalho, incluímos os efeitos das colisões binárias ao conjunto completo de processos não lineares da instabilidade bump-on-tail, na presença de oscilações eletrostáticas, e obtemos a evolução temporal bidimensional desse sistema. Para isso começamos com uma revisão teórica que inclui teoria cinética de plasmas, teoria de turbulência fraca e um estudo sobre colisões em plasmas. A seguir, adaptamos o operador colisional de Fokker-Planck, na aproximação de Landau, de maneira que pudéssemos agrupá-lo à equação cinética bidimensional para a evolução das partículas. Feito isso, passamos essas equações para a forma de diferenças finitas e as integramos em conjunto com o restante das equações da teoria de turbulência fraca. Uma comparação dos resultados obtidos com a evolução do mesmo sistema na ausência de colisões, nos indica que os primeiros sinais da atuação colisional na função de distribuição, embora muito sutis, surgem logo no início da evolução temporal. No entanto, a evolução das ondas só será afetada pelas colisões bem mais tarde, quando, aparentemente, os processos colisionais passam a dominar a dinâmica do sistema, superando os processos coletivos não lineares. Essa predominância da atuação colisional é percebida como uma lenta, mas progressiva simetrização das distribuições no espaço de velocidades e no espaço de vetor de onda. Os resultados estão de acordo com o esperado e as perspectivas futuras são promissoras.The situation in which occurs the interaction between a beam of fast electrons and a plasma is considered a fundamental model for the study of kinetic instabilities in plasmas. The nonlinear dynamics of this interaction has been extensively studied with the intention to better understand the processes behind the Langmuir turbulence generation, observed during the so-called type II and type III radio bursts. In these studies, is usual to assume a low density electron beam, which leads to a long time development interval; much longer than the period of the considered waves. For long periods of time evolution, an investigation concerning the action of collisional effects is needed. In this study, we include the effects of binary collisions to the complete set of non-linear processes of the bump-on-tail instability in the presence of electrostatic oscillations, and obtain the solution for the time evolution of the system in two dimensions. For that, we start with a literature review which includes kinetic theory of plasmas, weak turbulence theory and a study of collisions in plasmas. Then we adapt the Fokker-Planck collisional operator, in Landau approach, so we could group it to the two-dimensional kinetic equation for the evolution of the particles. Then, we write these equations in the form of finite difference equations, and integrate them together with the rest of the weak turbulence equations. A comparison of the results obtained with the evolution of the same system in the absence of collisions, indicates that the first signs of collisional activity in the distribution function, although very subtle, appear at the beginning of time evolution. However, the evolution of the waves will only be affected by collisions much later, when the collisional processes apparently dominate the dynamics of the system, overcoming the nonlinear collective processes. This predominance of collisional acting is perceived as a slow but progressive symmetrization of the distributions in the velocity space and the wave vector space. The results are consistent with expectations, and future perspectives are promising

Evolução temporal de processos fracamente turbulentos na presença de efeitos colisionais em plasmas astrofísicos

The weak turbulence theory has been an important theoretical tool for the study of nonlinear kinetic instabilities in plasmas. For a long time, this theory treated exclusively of the study of oscillatory processes and its influence in the plasma dynamics. The long-lasting timescale of nonlinear processes, however, suggests that collisional processes might have some effect in the late plasma dynamics, acting alongside nonlinear collective effects. In a recent work [P. H. Yoon et al., Phys. Rev. E 93:033203 (2016)], collisional effects and collective processes were systematically incorporated, starting from first principles, in the weak turbulence theory equations, considering electrostatic oscillations. The outcome of this innovative approach was a formal mathematical expression for the collisional damping rate for Langmuir and ion-sound waves, and the discovery of a new fundamental process of emission of electrostatic fluctuations, in the ion-sound and Langmuir frequency range, caused by binary interactions of particles, named electrostatic bremsstrahlung. In the present study, we introduce the first numerical analysis of these two new equations and discuss the relevance of these numerical results in the solar physics scope. The first work to be discussed concerns the collisional damping equation, and in it, we compare the results of numerical integration of the rigorous expression with the damping rate calculated with the widely applied Spitzer formula. We show that the Spitzer approximation highly over-estimates the intensity of collisional attenuation of plasma waves. The lack of relevance of the collisional damping rate gets further demonstrated when we compare it with the collisionless (Landau) damping rate. In the second work to be discussed, we analyze the so-far ignored electrostatic bremsstrahlung effect. We show that the presence of electrostatic bremsstrahlung emission modifies the Langmuir spectrum, which in turn alters the shape of the initial electron velocity distribution, assumed to be Maxwellian. After a long time-evolution period (numerical integration), the system seems to arrive at a new quasi-steady state, in which the shape of the electron velocity distribution resembles the shape of a core-halo distribution function, i.e., composed by a Maxwellian core and a suprathermal tail. The outcomes of both analyses are unprecedented; the prospects and possibilities for further studies on this subject are promising. In the end, we also present an extra result, indirectly related to the main subject of this doctoral project, regarding the analysis of the complete set of electromagnetic weak turbulence equations, in the presence of a core-halo velocity distribution function.A teoria de turbulência fraca tem sido uma importante ferramenta teórica para o estudo de instabilidades cinéticas não lineares em plasmas. Por um longo tempo, esta teoria tratou exclusivamente do estudo de processos oscilatórios e de sua influência na dinâmica do plasma. Entretanto, a escala de tempo de longa duração dos processos não lineares sugere que processos colisionais podem ter algum efeito na dinâmica do plasma, atuando em conjunto com os efeitos dos processos coletivos não-lineares. Em um trabalho recente [P. H. Yoon et al., Phys. Rev. E 93:033203 (2016)], efeitos colisionais e processos coletivos foram sistematicamente incorporados, partindo de primeiros princípios, nas equações da teoria de turbulência fraca, considerando oscilações eletrostáticas. O resultado dessa abordagem inovadora foi uma expressão matemática formal para a taxa de amortecimento colisional para ondas de Langmuir e íon-acústicas, e a descoberta de um novo processo fundamental de emissão de flutuações eletrostáticas, na faixa de frequência das ondas de Langmuir e das ondas íon-acústicas, causado por interações binárias entre partículas do plasma, nomeado como bremsstrahlung eletrostático. Neste estudo, introduzimos as primeiras análises numéricas relativas a essas duas novas equações e discutimos a relevância desses resultados numéricos no contexto da física solar. O primeiro trabalho a ser discutido se refere à nova equação para o amortecimento colisional, e nele comparamos o resultado da integração numérica dessa expressão, com a largamente usada fórmula de Spitzer. Com isso conseguimos mostrar que a aproximação de Spitzer superestima em muito a intensidade da atenuação colisional das ondas de plasma. Além disso, a falta de relevância da taxa de amortecimento colisional fica demonstrada quando a comparamos com a taxa de amortecimento não colisional (de Landau). No segundo trabalho, analizamos o até então ignorado efeito de bremsstrahlung eletrostático. Mostramos que a presença da emissão de bremsstrahlung eletrostático modifica o espectro das ondas de Langmuir que, por sua vez, altera a forma da função de distribuição inicial dos elétrons, suposta Maxwelliana. Após um longo tempo de evolução temporal (integração numérica), o sistema parece chegar a um novo estado quase-estacionário, no qual a forma da função de distribuição de velocidades dos elétrons lembra a forma de uma função de distribuição núcleo-halo, ou seja, composta por um núcleo Maxwelliano e uma cauda supratérmica. Os resultados de ambas análises são sem precedentes; as perspectivas e as possibilidades para novos estudos neste assunto são promissoras. No final é também apresentado um resultado extra, indiretamente relacionado ao assunto principal desse projeto de trabalho de doutorado, relativo à análise do conjunto completo de equações eletromagnéticas da teoria de turbulência fraca, na presença de uma função de distribuição de velocidades núcleo-halo

Weakly turbulent plasma processes in the presence of inverse power-law velocity tail population

Observations show that plasma particles in the solar wind frequently display power-law velocity distributions, which can be isotropic or anisotropic. Particularly, the velocity distribution functions of solar wind electrons are frequently modeled as a combination of a background Maxwellian distribution and a non-thermal distribution which is known as the “halo” distribution. For fast solar wind conditions, highly anisotropic field-aligned electrons, denominated as the “strahl” distribution, are also present. Motivated by these observations, the present paper considers a tenuous plasma with Maxwellian ions, and electrons described by a summation of an isotropic Maxwellian distribution and an isotropic Kappa distribution. The formalism of weak turbulence theory is utilized in order to discuss the spectra of electrostatic waves that must be present in such a plasma, satisfying the conditions of quasi-equilibrium between the processes of spontaneous fluctuations and of induced emission. The kappa index and relative density of the Kappa electron distribution are varied. By taking into account the effects due to electromagnetic waves into the weak turbulence formalism, we investigate the electromagnetic spectra that satisfy the conditions of “turbulent equilibrium,” and also the time evolution of the wave spectra and of the electron distribution, which occurs in the case of the presence of an electron beam in the electron distribution