Aspectos geométricos y numéricos de los sistemas mecánicos con términos magnéticos

Las aplicaciones de técnicas provenientes de la Geometría Diferencial moderna y la Topología han ayudado a una mayor comprensión de los problemas provenientes de la teoría de Sistemas Dinámicos. Estas aplicaciones han reformulado la mecánica analítica y clásica en un lenguaje geométrico que junto a nuevos métodos analíticos, topológicos y numéricos conforman una nueva área de investigación en matemática y física llamada Mecánica Geométrica. La Mecánica Geométrica se configura como un punto de encuentro de disciplinas diversas como la Mecánica, la Geometría, el Análisis, el Álgebra, el Análisis Numérico, las Ecuaciones en Derivadas Parciales, entre otras. Actualmente, la Mecánica Geométrica es un área de investigación pujante con fructíferas conexiones con otras disciplinas como la Teoría de Control no-lineal y los Sistemas Dinámicos. El objetivo de la Teoría de Control es determinar el comportamiento de un sistema dinámico por medio de acciones externas de forma que se cumplan ciertas condiciones prefijadas, como por ejemplo, que haya un extremo fijo, los dos, que ciertas variables no alcancen algunos valores u otro tipo de situaciones más o menos complicadas. Las aplicaciones de la Mecánica Geométrica en Teoría de Control han causado grandes progresos de esta área de investigación. Por otro lado, los sistemas híbridos son sistemas dinámicos que poseen dos componentes particulares en su dinámica: una dinámica a tiempo continua y una dinámica discreta. Estos sistemas son capaces de modelar varios sistemas ingenieriles como por ejemplo robots bípedos y el trabajo cooperativo con drones. La teoría de reducción es uno de los temas más estudiados de la Mecánica Geométrica. El punto de partida de todos los trabajos que estudian este tema es eliminar variables asociadas con un grupo de simetrías para reducir los grados de libertad de un sistema mecánico. En Mecánica Geométrica, las variedades simplécticas son utilizadas como espacios de fases de momentos, es decir, fibrados cotangentes en un espacio de configuración Q. En ese caso, las variedades simplécticas son los espacios naturales en las cuales se realiza la formulación Hamiltoniana de la Mecánica Clásica en el sentido autónomo. Dado un grupo de Lie, si el grupo de Lie actúa en Q, entonces se puede reducir la variedad simpléctica con respecto a la correspondiente acción levantada al cotangente y la aplicación momento canónica. Una de la formulaciones modernas de la teoría de reducción es conocida como reducción simpléctica o reducción de Marsden-Weinstein. La idea principal es la siguiente: suponer que un grupo de Lie actúa simplécticamente en una variedad simpléctica y que la aplicación momento está dada. El conjunto de nivel de esta aplicación, está equipado con una 2-forma canónica cerrada que generalmente no es no-degenerada. Bajo ciertas condiciones, se puede cocientar con respecto al grupo de isotropía para así eliminar las variables degeneradas y obtener una nueva 2-forma que resulta ser simpléctica. En el marco de sistemas que dependen explícitamente del tiempo, la situación es diferente. El espacio de configuraciones es una variedad diferenciable con su parte en el conjunto de números reales. Uno puede pensar en aplicar nuevamente los resultados conocidos a este nuevo marco y realizar una teoría análoga dependiente en el tiempo. En esta Tesis, el estudio de reducción por simetrías para sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos híbridos es desarrollado en profundidad generalizando los resultados ya conocidos. Todos los distintos procesos de reducción que aparecen en mecánica de sistemas a tiempo continuo, de una u otra manera, pueden ser llevados a cabo en el contexto híbrido y así conseguir un sistema equivalente (que luego recuperará la solución del original) más fácil de resolver. El presente trabajo de investigación incluye nuevos resultados en el área de la Mecánica Geométrica que permiten el estudio de sistemas mecánicos (en particular sobre técnicas de reducción aplicadas en distintos contextos), su aplicación a la teoría de control y a los sistemas híbridos con y sin dependencia del tiempo. Presentamos una nueva formulación geométrica para la dinámica de los sistemas mecánicos de orden superior reducidos y la existencia de términos magnéticos, tanto en estos sistemas como en los sistemas mecánicos híbridos, que aparecen luego de aplicar un proceso de reducción Hamiltoniana. El trabajo desarrollado en esta Tesis contribuye a la Mecánica de Orden Superior, la Mecánica Discreta, la Teoría de reducción, la estabilidad y reducción de los Sistemas Mecánicos Híbridos, la Geometría Cosimpléctica y la Teoría de Control Geométrico.Facultad de Ciencias Exacta

Symmetries and periodic orbits in simple hybrid Routhian systems

Symmetries are ubiquitous in a wide range of nonlinear systems. Particularly in systems whose dynamics is determined by a Lagrangian or Hamiltonian function. For hybrid systems which possess a continuous-time dynamics determined by a Lagrangian function, with a cyclic variable, the degrees of freedom for the corresponding hybrid Lagrangian system can be reduced by means of a method known as hybrid Routhian reduction. In this paper we study sufficient conditions for the existence of periodic orbits in hybrid Routhian systems which also exhibit a time-reversal symmetry. Likewise, we explore some stability aspects of such orbits through the characterization of the eigenvalues for the corresponding linearized Poincare map. Finally, we apply the results to find periodic solutions in underactuated hybrid Routhian control systems.Facultad de Ciencias Exacta

Aplicación momento discreta y sus propiedades de equivarianza

La mecánica geométrica es un área de investigación en la que se utilizan distintas teorías y técnicas de distintas ramas de la matemática para tratar distintos sistemas físicos. Uno de sus principales intereses es el estudio de la dinámica de sistemas mecánicos (ya sea en su formulación Hamiltoniana como Lagrangiana) utilizando diversas técnicas de geometría diferencial. Por ejemplo, es usual identificar cantidades conservadas de los sistemas y luego utilizarlas para reducir sus grados de libertad. En el caso de los sistemas Hamiltonianos con simetrías, algunas de estas cantidades conservadas se pueden caracterizar en término de la llamada "aplicación momento". Una propiedad importante de esta aplicación es la "equivarianza" que permite, entre otras cosas, eliminar la simetría del sistema aplicando el bien conocido teorema de reducción simpléctica de Marsden Weinstein. En los últimos años, la mecánica geométrica abordó el estudio de sistemas mecánicos discretos; esto es, sistemas mecánicos con variable temporal discreta. Una de las principales aplicaciones de la mecánica discreta es la construcción de integradores de las ecuaciones de movimiento del sistema que gozan de buenas propiedades como la conservación del momento y la energía del sistema. En este poster expondremos algunos resultados sobre las aplicaciones momento discretas y sus propiedades de equivarianza para sistemas Lagrangianos discretos.Universidad Nacional de La Plat

Aplicación momento discreta y sus propiedades de equivarianza

La mecánica geométrica es un área de investigación en la que se utilizan distintas teorías y técnicas de distintas ramas de la matemática para tratar distintos sistemas físicos. Uno de sus principales intereses es el estudio de la dinámica de sistemas mecánicos (ya sea en su formulación Hamiltoniana como Lagrangiana) utilizando diversas técnicas de geometría diferencial. Por ejemplo, es usual identificar cantidades conservadas de los sistemas y luego utilizarlas para reducir sus grados de libertad. En el caso de los sistemas Hamiltonianos con simetrías, algunas de estas cantidades conservadas se pueden caracterizar en término de la llamada "aplicación momento". Una propiedad importante de esta aplicación es la "equivarianza" que permite, entre otras cosas, eliminar la simetría del sistema aplicando el bien conocido teorema de reducción simpléctica de Marsden Weinstein. En los últimos años, la mecánica geométrica abordó el estudio de sistemas mecánicos discretos; esto es, sistemas mecánicos con variable temporal discreta. Una de las principales aplicaciones de la mecánica discreta es la construcción de integradores de las ecuaciones de movimiento del sistema que gozan de buenas propiedades como la conservación del momento y la energía del sistema. En este poster expondremos algunos resultados sobre las aplicaciones momento discretas y sus propiedades de equivarianza para sistemas Lagrangianos discretos.Universidad Nacional de La Plat

Aplicación momento discreta y sus propiedades de equivarianza

La mecánica geométrica es un área de investigación en la que se utilizan distintas teorías y técnicas de distintas ramas de la matemática para tratar distintos sistemas físicos. Uno de sus principales intereses es el estudio de la dinámica de sistemas mecánicos (ya sea en su formulación Hamiltoniana como Lagrangiana) utilizando diversas técnicas de geometría diferencial. Por ejemplo, es usual identificar cantidades conservadas de los sistemas y luego utilizarlas para reducir sus grados de libertad. En el caso de los sistemas Hamiltonianos con simetrías, algunas de estas cantidades conservadas se pueden caracterizar en término de la llamada "aplicación momento". Una propiedad importante de esta aplicación es la "equivarianza" que permite, entre otras cosas, eliminar la simetría del sistema aplicando el bien conocido teorema de reducción simpléctica de Marsden Weinstein. En los últimos años, la mecánica geométrica abordó el estudio de sistemas mecánicos discretos; esto es, sistemas mecánicos con variable temporal discreta. Una de las principales aplicaciones de la mecánica discreta es la construcción de integradores de las ecuaciones de movimiento del sistema que gozan de buenas propiedades como la conservación del momento y la energía del sistema. En este poster expondremos algunos resultados sobre las aplicaciones momento discretas y sus propiedades de equivarianza para sistemas Lagrangianos discretos.Universidad Nacional de La Plat

Hybrid Routhian reduction for simple hybrid forced Lagrangian systems

This paper discusses Routh reduction for simple hybrid forced mechanical systems. We give general conditions on whether it is possible to perform symmetry reduction for a simple hybrid Lagrangian system subject to non-conservative external forces, emphasizing the case of case of cyclic coordinates. We illustrate the applicability of the symmetry reduction procedure with an example and numerical simulations.Comment: Submitted. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2112.02573, arXiv:2003.07484, arXiv:2001.0894

Aplicación momento discreta y sus propiedades de equivarianza

La mecánica geométrica es un área de investigación en la que se utilizan distintas teorías y técnicas de distintas ramas de la matemática para tratar distintos sistemas físicos. Uno de sus principales intereses es el estudio de la dinámica de sistemas mecánicos (ya sea en su formulación Hamiltoniana como Lagrangiana) utilizando diversas técnicas de geometría diferencial. Por ejemplo, es usual identificar cantidades conservadas de los sistemas y luego utilizarlas para reducir sus grados de libertad. En el caso de los sistemas Hamiltonianos con simetrías, algunas de estas cantidades conservadas se pueden caracterizar en término de la llamada "aplicación momento". Una propiedad importante de esta aplicación es la "equivarianza" que permite, entre otras cosas, eliminar la simetría del sistema aplicando el bien conocido teorema de reducción simpléctica de Marsden Weinstein. En los últimos años, la mecánica geométrica abordó el estudio de sistemas mecánicos discretos; esto es, sistemas mecánicos con variable temporal discreta. Una de las principales aplicaciones de la mecánica discreta es la construcción de integradores de las ecuaciones de movimiento del sistema que gozan de buenas propiedades como la conservación del momento y la energía del sistema. En este poster expondremos algunos resultados sobre las aplicaciones momento discretas y sus propiedades de equivarianza para sistemas Lagrangianos discretos.Universidad Nacional de La Plat