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Propiedades geométricas de operadores de curvatura y generalizaciones de espacios simétricos
El estudio de la curvatura es un aspecto central en geometr a. La curvatura
constituye el invariante algebraico m as simple de la estructura Riemanniana y proporciona
no s olo informaci on geom etrica sobre la misma, sino tambi en informaci on
de ndole topol ogica sobre la variedad subyacente. La complejidad inherente al estudio
de la curvatura en dimensiones superiores, como campo de tensores de tipo
(0; 4), ha motivado el an alisis de distintos objetos asociados a la misma. Funciones
con distintos dominios como la curvatura seccional o la curvatura escalar constituyen
un buen ejemplo de objetos asociados a la curvatura que permiten, en algunos
casos, determinar la estructura Riemanniana.
El operador de Jacobi proporciona una medida de la desviaci on geod esica, por
lo que encierra un alto contenido geom etrico. Una buena parte de la informaci on
codi cada por el operador de Jacobi se pone de mani esto al estudiar tanto sus
autovalores como los autoespacios correspondientes. Adem as, el hecho de que los
operadores de Jacobi determinan completamente la curvatura, constituye una motivaci
on adicional para el estudio de las propiedades algebraicas de los mismos.
Es bien conocido que la existencia de estructuras adicionales sobre una variedad
in
uye en la curvatura de la misma. Tal es el caso de las variedades K ahler, donde
la curvatura est a claramente in
uenciada por la estructura compleja. Sin embargo,
esta interacci on se presenta tambi en en un sentido inverso, siendo posible recuperar
la estructura K ahleriana a partir de la curvatura de la variedad. Este acercamiento a
la curvatura en la l nea del Teorema de Goldberg-Sachs resultar a de inter es en nuestro
trabajo. Especialmente en dimensi on cuatro, es posible construir estructuras
adicionales sobre la variedad a partir de distintos operadores curvatura. Adem as,
estas estructuras permitir an en cierta medida caracterizar los espacios estudiados.
Motivados por las consideraciones anteriores, esta memoria se estructura en dos
partes diferenciadas en sus objetivos aunque centradas en el estudio de la curvatura
y su in
uencia en la estructura de la variedad
Homogeneous Riemannian structures in dimension three
In this note, we determine all the homogeneous structures on non-symmetric three-dimensional Riemannian Lie groups. We show that a non-symmetric three-dimensional Riemannian Lie group admits a non-canonical homogeneous structure if and only if its isometry group has dimension fourOpen Access funding provided thanks to the CRUE-CSIC agreement with Springer NatureS