Propiedades geométricas de operadores de curvatura y generalizaciones de espacios simétricos

El estudio de la curvatura es un aspecto central en geometr a. La curvatura constituye el invariante algebraico m as simple de la estructura Riemanniana y proporciona no s olo informaci on geom etrica sobre la misma, sino tambi en informaci on de ndole topol ogica sobre la variedad subyacente. La complejidad inherente al estudio de la curvatura en dimensiones superiores, como campo de tensores de tipo (0; 4), ha motivado el an alisis de distintos objetos asociados a la misma. Funciones con distintos dominios como la curvatura seccional o la curvatura escalar constituyen un buen ejemplo de objetos asociados a la curvatura que permiten, en algunos casos, determinar la estructura Riemanniana. El operador de Jacobi proporciona una medida de la desviaci on geod esica, por lo que encierra un alto contenido geom etrico. Una buena parte de la informaci on codi cada por el operador de Jacobi se pone de mani esto al estudiar tanto sus autovalores como los autoespacios correspondientes. Adem as, el hecho de que los operadores de Jacobi determinan completamente la curvatura, constituye una motivaci on adicional para el estudio de las propiedades algebraicas de los mismos. Es bien conocido que la existencia de estructuras adicionales sobre una variedad in uye en la curvatura de la misma. Tal es el caso de las variedades K ahler, donde la curvatura est a claramente in uenciada por la estructura compleja. Sin embargo, esta interacci on se presenta tambi en en un sentido inverso, siendo posible recuperar la estructura K ahleriana a partir de la curvatura de la variedad. Este acercamiento a la curvatura en la l nea del Teorema de Goldberg-Sachs resultar a de inter es en nuestro trabajo. Especialmente en dimensi on cuatro, es posible construir estructuras adicionales sobre la variedad a partir de distintos operadores curvatura. Adem as, estas estructuras permitir an en cierta medida caracterizar los espacios estudiados. Motivados por las consideraciones anteriores, esta memoria se estructura en dos partes diferenciadas en sus objetivos aunque centradas en el estudio de la curvatura y su in uencia en la estructura de la variedad

Homogeneous Riemannian structures in dimension three

In this note, we determine all the homogeneous structures on non-symmetric three-dimensional Riemannian Lie groups. We show that a non-symmetric three-dimensional Riemannian Lie group admits a non-canonical homogeneous structure if and only if its isometry group has dimension fourOpen Access funding provided thanks to the CRUE-CSIC agreement with Springer NatureS