Four-dimensional representation of scattering amplitudes and physical observables through the application of the Loop-Tree Duality theorem

Las últimas dos décadas han sido testigo de un tremendo progreso en la física teórica de alta precisión. Muchos avances han sido hechos, en particular, en la evaluación de diagramas multi-loop, pero el principal desafío yace en el tratamiento de las divergencias IR a través de eficientes esquemas de substracción. Con la complejidad del procedimiento incrementándose exponencialmente con el número de escalas, se ha hecho necesario tratar la cuestión desde un ángulo diferente, invocando así al desarrollo de nuevas técnicas. La Dualidad Lazo-Árbol (LTD, por sus siglas en inglés) provee de un nuevo marco para el cómputo de amplitudes con loops. A través de la modificación de la prescripción estándar +i0 de los propagadores de Feynman, la LTD establece relaciones duales entre lazos e integrales de espacio de fases. Esto reduce el dominio de integración del lazo a un espacio Euclídeo, en donde la integración se lleva a cabo de hiperboloides o conos de luz en los cuales se verifica la condición de capa de masa. Luego de regularizar apropiadamente las divergencias IR y UV, esto permite una evaluación numérica directa de las amplitudes. La vasta mayoría del trabajo desarrollado en esta tesis se base en este formalismo. En particular, la No-Sustracción en Cuatro-Dimensiones (FDU, por sus siglas en inglés) está íntimamente relacionado con la LTD, y toma ventaja de las muy interesantes características de dicho formalismo. En primer lugar, mostramos que dentro del formalismo LTD, las singularidades IR de las contribuciones reales y virtuales están restringidas a una región compacta del espacio de momentos. Nosotros explotamos este hecho crucial para construir un mapeo entre la cinemática real y la virtual, con el objetivo de remover localmente cualquier singularidad IR de la suma de ambas contribuciones. Para ilustrar el método, comenzamos calculando las correcciones NLO a un proceso 1 a 2 en un modelo escalar de juguete con partículas sin masa. Luego de separar el espacio de fases real en dos regiones, procedemos a combinar diferentes partes de las contribuciones reales y virtuales, y mostramos que ninguna de las cantidades obtenidas exhibe divergencias IR. Paralelamente, explicamos cómo cancelar las singularidades UV de las contribuciones virtuales de una forma local, usando la función escalar de dos puntos como ejemplo de partida. Aplicando una expansión del integrando alrededor del propagador UV, construimos un contratérmino que reproduce exactamente el comportamiento singular del integrando original en la región de altas energías, haciendo que la diferencia entre ambos carezca de divergencias UV. Luego, aplicamos las técnicas antes mencionadas para calcular las correcciones NLO de QCD al decaimiento de un fotón virtual en un par de quarks sin masa, y obtenemos una representación puramente cuatro-dimensional de las amplitudes a nivel integrando. También comentamos brevemente acerca de la generalización al caso de más loops y partículas externas. Lógicamente, el próximo paso consiste en extender el algoritmo FDU al caso de partículas masivas. Los mencionados mapeos de la cinemática real-virtual son extendidos al caso masivo (y para un número arbitrario de partículas externas), y nos aseguramos de que las configuraciones casi-colineales estuvieran consideradas de forma apropiada, con el fin de poder lograr una transición suave al límite no masivo. Comenzamos calculando las correcciones NLO al decaimiento de partículas en un modelo de juguete escalar con masas, antes de aplicar la técnica para el decaimiento de bosones escalares y vectoriales en dos quarks masivos. Para poder tener en cuenta adecuadamente el comportamiento singular UV completo, tuvimos que construir una representación a nivel integrando de los factores de renormalización de la función de onda y de la masa. Los integrandos cuatro-dimensionales que obtuvimos fueron evaluados numéricamente, reproduciendo con buena precisión los resultados estándar en Regularización Dimensional (DREG, por sus siglas en inglés). Si se extendiera exitosamente a NNLO, el formalismo FDU podría representar una muy buena alternativa frente a la mayoría de los métodos tradicionales. Otras ventajas del formalismo LTD se presentan también en esta tesis. Mostramos que para las amplitudes de scattering del bosón de Higgs decayendo en dos bosones de gauge sin masa a un lazo, la forma funcional del integrando puede ser expresada de una forma universal cuando un quark top, un escalar cargado o un bosón W circulan internamente. Más aún, luego de tratar adecuadamente las singularidades locales UV (escondidas), llevamos a cabo una expansión asintótica de forma directa para la amplitud sin integrar, sin necesidad de separar el dominio de integración en distintas regiones. Si se aplicara a otros procesos más complicados, esto podría abrir nuevas oportunidades para una implementación más eficiente de los cálculos a órdenes perturbativos superiores. Esta línea de investigación está siendo actualmente desarrollada. Finalmente, hemos presentado la primera aplicación de la LTD a dos loops, en el caso del decaimiento de un bosón de Higgs en dos fotones. Mostramos que, remarcablemente, la mencionada universalidad del integrando aún se preserva a éste orden. Sería interesante investigar si esta propiedad sigue siendo válida más allá de los dos loops, y –si este fuera el caso- cómo aprovecharla para facilitar el cálculo de procesos que comparten las mismas topologías y conjuntos de diagramas. Además de esto, nosotros proponemos una técnica para calcular contratérminos locales UV a dos loops, en cualquier esquema de renormalización. Este procedimiento sería el primer ingrediente necesario en la extensión de la FDU más allá de NLO. En particular, el mismo ha sido aplicado al proceso considerado, en donde se encontró un acuerdo perfecto entre nuestra implementación numéricas y los resultados disponibles en la literatura.The last two decades have seen a tremendous amount of progress in theoretical high precision physics. Many advances in particular have been made in the evaluation of multiloop diagrams, but the main challenge lies in the treatment of IR divergences through efficient subtraction schemes. The complexity of the procedure increasing exponentially with the number of scales, it has become necessary to approach the issue from a different angle, hence calling for the development of new techniques. The Loop-Tree Duality (LTD) provides a new framework for the computation of loop amplitudes. By modifying the customary +i0 prescription of the Feynman propagators, it establishes duality relations between loop and phase-space integrals. It reduces the loop integration domain to an Euclidean space, where the integration is performed along on-shell hyperboloids or light-cones. After properly regularising IR and UV divergences, it allows for a direct numerical evaluation of the amplitude. The vast majority of the work developed in this thesis is based on this formalism. In particular, the Four-Dimensional Unsubtraction (FDU) method is intimately linked with LTD, and takes best advantage of the very interesting features of this formalism. First, we show that within the LTD formalism, the IR singularities of both the real and virtual contributions are restricted to a compact region of the momentum space. We exploit this crucial fact to build a mapping between real and virtual kinematics, in order to make the sum of both contributions locally free from any IR divergences. To illustrate the method, we start by computing the NLO corrections to a very simple 1 to 2 toy model with massless particles. After splitting the real phase space into two regions, we combine different pieces of the real and virtual contributions together, and shown that none of the quantities obtained exhibits any more IR divergences. In parallel, we explain how to cancel the UV singularities of the virtual contributions in a local way, using the two-point scalar function as a starting example. By using an expansion of the integrand around a UV propagator, we build a counterterm that exactly reproduces the singular behaviour of the original integrand in the high-energy region, rendering their difference free of UV divergences. Then, we apply the aforementioned techniques to compute the NLO QCD decay-rate of a virtual photon into a pair of massless quarks, and obtain a pure four-dimensional expression of the amplitude at the integrand level. We also briefly comment on the generalisation to more loops and external legs. The next logical step is to extend the FDU algorithm to massive particles. The real-virtual mapping mentioned above is extended to the massive case (and to an arbitrary number of external particles), and we make sure that the quasi-collinear configuration were properly dealt with, so we can achieve a smooth massless limit. We start by computing the decay rate at NLO of a massive scalar toy model, before applying the technique to the decay of a scalar or vector boson into two massive quarks. In order to properly account for the complete UV singular behaviour, we have to build an integral-level representation of the wave-function and mass renormalisation factors. The four-dimensional integrands we obtain are evaluated numerically, reproducing the standard DREG results with very good accuracy. If successfully extended at NNLO, the FDU formalism could represent a very good alternative to more traditional approaches. Other advantages of the LTD framework are also presented in this thesis. We show that for the amplitudes of the Higgs boson to two massless gauge bosons at one-loop level, the functional form of the integrand can be written in a universal way for a top quark, a charged scalar, and a W gauge boson as internal particles. Moreover, after properly taking care of (hidden) local UV singularities, we perform a straightforward asymptotic expansion of the unintegrated amplitude, without having to split the integration domain into several regions. If applicable to other, more complicated processes, it could open new opportunities for a more efficient implementation of higher-order computations. This research direction is currently being investigated. Finally, we have presented the very first application of LTD at two-loop level, with the Higgs boson decay to two photons process. We show that, remarkably, the above-mentioned universality of the integrand was still holding at this order. It would be interesting to investigate if this property remains true beyond two loops, and — if it is the case — how it can be exploited to facilitate the computations of processes sharing the same topologies and set of contributing diagrams. We also propose a technique to compute local UV counterterms at two-loop level, in any renormalisation scheme. This procedure would be the first ingredient for an extension of FDU beyond NLO. In particular, it has been applied to the process under consideration, where a perfect agreement between our numerical implementation and results available in the literature is found

Universal four-dimensional representation of H → γγ at two loops through the Loop-Tree Duality

Abstract We extend useful properties of the H → γγ unintegrated dual amplitudes from one- to two-loop level, using the Loop-Tree Duality formalism. In particular, we show that the universality of the functional form — regardless of the nature of the internal particle — still holds at this order. We also present an algorithmic way to renormalise two-loop amplitudes, by locally cancelling the ultraviolet singularities at integrand level, thus allowing a full four-dimensional numerical implementation of the method. Our results are compared with analytic expressions already available in the literature, finding a perfect numerical agreement. The success of this computation plays a crucial role for the development of a fully local four-dimensional framework to compute physical observables at Next-to-Next-to Leading order and beyond

A Stroll through the Loop-Tree Duality

The Loop-Tree Duality (LTD) theorem is an innovative technique to deal with multi-loop scattering amplitudes, leading to integrand-level representations over a Euclidean space. In this article, we review the last developments concerning this framework, focusing on the manifestly causal representation of multi-loop Feynman integrals and scattering amplitudes, and the definition of dual local counter-terms to cancel infrared singularities