Symmetries & tensor networks in two-dimensional quantum physics

The most general description of a quantum many-body system is given by a wave- function that lives in a Hilbert space with dimension exponential in the number of particles. This makes it extremely hard to study strongly correlated phenomena like the fractional quantum Hall effect and high-temperature superconductivity. Whenever interactions are sufficiently local and temperature is low, the system does not explore the full Hilbert space, but its ground state resides in the small corner of Hilbert space described by the area law. Containing little entanglement, the states can then be expressed as tensor networks, a family of wavefunctions with a polynomial number of parameters. On the one hand, tensor networks can be used as a variational manifold in nu- merical computations. On the other hand, they allow building model wavefunctions much like locality allows writing down physically realistic Hamiltonians. Besides allowing for an analytical treatment, these models grant access both to the physical and the entanglement degrees of freedom. This is particularly useful in classifying phases of matter. A large number of phases can be explained in terms of Landau’s symmetry-breaking paradigm. This framework, however, is not complete, as exemplified by the existence of phases with intrinsic topological order in two dimensions. It was a major conceptual advance when tensor networks could explain (non-chiral) topological phases as those where the symmetry resides in the entanglement degrees of freedom. The symmetries corresponding to those topological phases act as discrete, finite groups on the virtual degrees of freedom. The purpose of this Thesis is to generalize this program to include other symmetries. We investigate a class of tensor networks with continuous symmetries and find that they cannot describe gapped physics with a unique ground state. The abelian case is found to describe a non-Lorentz invariant phase transition point into a topologically ordered phase. The physics of the non- abelian case is that of a plaquette state that spontaneously breaks the translation symmetry of the lattice. The non-abelian PEPS arises as the ground state of a local parent Hamiltonian whose ground state manifold is completely characterized by the tensor network. In both cases, we find two types of corrections to the entanglement entropy: first there is a correction that is logarithmic in the size of the boundary and independent of the shape. A further correction depends only on the shape of the partition, imposing further restrictions on regions that are suffciently thin. Finally, we investigate symmetries that mix the virtual with the physical degrees of freedom and are furthermore anisotropic. Their physics is described by subsystem symmetry protected topological order. In particular, we focus on the entanglement entropy in the cluster phase and show that there is a universal constant correction to the entropy throughout the phase. This is important in the program of establishing the entanglement entropy as a detection mechanism for topologically ordered phases. We put forward a numerical algorithm to compute the correction and use it to discover a novel phase of matter in which the cluster phase is embedded.Die allgemeinste Beschreibung eines Quanten-Vielteilchensystems ergibt sich aus einer Wellenfunktion, die in einem Hilbert-Raum lebt, dessen Dimension exponentiell in der Anzahl der Teilchen ist. Dies macht es äußerst schwierig, stark korrelierte Phänomene wie den fraktionalen Quanten-Hall-Effekt und die Hochtemperatursupraleitung zu untersuchen. Wenn die Wechselwirkungen ausreichend lokal sind und die Temperatur niedrig ist, steht dem System nicht der gesamte Hilbert-Raum zur Verfügung. Sein Grundzustand befindet sich in der kleinen "Ecke" des Hilbert-Raums, die durch das area law beschrieben wird. Mit wenig Verschränkung können die Zustände dann als Tensornetzwerke ausgedrückt werden, eine Familie von Wellenfunktionen mit einer polynomiellen Anzahl von Parametern. Einerseits können Tensornetzwerke als variationelle Ansätze bei numerischen Berechnungen verwendet werden. Auf der anderen Seite ermöglichen sie das Erstellen von Modellwellenfunktionen. Diese Modelle ermöglichen nicht nur eine analytische Behandlung, sondern gewähren auch Zugang zu den physikalischen und den Verschränkungsfreiheitsgraden. Dies ist besonders nützlich bei der Klassifizierung von Phasen der Materie. Eine große Anzahl von Phasen kann mit Landaus Theorie der Symmetriebrechung erklärt werden. Diese Beschreibung ist jedoch nicht vollständig, was durch die Existenz von Phasen mit intrinsischer topologischer Ordnung in zwei Dimensionen veranschaulicht wird. Es war ein großer konzeptioneller Fortschritt, als Tensornetzwerke (nicht-chirale) topologische Phasen als solche identifizieren konnten, bei denen die Symmetrie in den Verschränkungsfreiheitsgraden liegt. Die diesen topologischen Phasen entsprechenden Symmetrien wirken als diskrete, endliche Gruppen auf den virtuellen Freiheitsgraden. Der Zweck dieser Arbeit ist es, dieses Programm auf andere Symmetrien zu verallgemeinern. Wir untersuchen eine Klasse von Tensornetzwerken mit kontinuierlichen Symmetrien und stellen fest, dass sie keine mit eindeutigen Grundzustand unter einer Energielücke beschreiben können. Der abelsche Fall beschreibt einen nicht-Lorentz-invarianten Phasenübergangspunkt in eine topologisch geordnete Phase. Die Physik des nicht-abelschen Falls ist die eines Plaquette-Zustands, der spontan die Translationssymmetrie des Gitters bricht. Der nicht-abelsche PEPS entsteht als Grundzustand eines lokalen \textit{parent}-Hamiltonians, dessen Grundzustandsunterraum vollständig durch das Tensornetzwerk beschrieben wird. In beiden Fällen finden wir zwei Arten von Korrekturen an der Verschränkungsentropie: Erstens gibt es eine Korrektur, die in der Größe der Grenze logarithmisch und unabhängig von der Form ist. Eine weitere Korrektur hängt nur von der Form des Schnitts ab ab, wodurch ausreichend dünne Bereiche weiter eingeschränkt werden. Schließlich untersuchen wir Symmetrien, die virtuelle und physikalische Freiheitsgraden mischen und darüber hinaus anisotrop sind. Ihre Physik wird durch topologische Ordnung beschrieben, die stabil ist solange bestimmte Subsystem-Symmetrien nicht gebrochen werden. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Verschränkungsentropie in der Clusterphase und zeigen, dass die Entropie in der gesamten Phase universell eine konstante Korrektur erhält. Dies ist wichtig im Programm zur Etablierung der Verschränkungsentropie als Detektionsmechanismus für topologisch geordnete Phasen. Wir schlagen einen numerischen Algorithmus vor, um die Korrektur zu berechnen und entdecken eine neue Phase der Materie, in die die Clusterphase eingebettet ist

Detecting subsystem symmetry protected topological order via entanglement entropy

Subsystem symmetry protected topological (SSPT) order is a type of quantum order that is protected by symmetries acting on lower-dimensional subsystems of the entire system. In this paper, we show how SSPT order can be characterized and detected by a constant correction to the entanglement area law, similar to the topological entanglement entropy. Focusing on the paradigmatic two-dimensional cluster phase as an example, we use tensor network methods to give an analytic argument that almost all states in the phase exhibit the same correction to the area law, such that this correction may be used to reliably detect the SSPT order of the cluster phase. Based on this idea, we formulate a numerical method that uses tensor networks to extract this correction from ground-state wave functions. We use this method to study the fate of the SSPT order of the cluster state under various external fields and interactions, and find that the correction persists unless a phase transition is crossed, or the subsystem symmetry is explicitly broken. Surprisingly, these results uncover that the SSPT order of the cluster state persists beyond the cluster phase, thanks to a new type of subsystem time-reversal symmetry. Finally, we discuss the correction to the area law found in three-dimensional cluster states on different lattices, indicating rich behavior for general subsystem symmetriesComment: 17 pages. v2: Published version, minor changes throughou

Continuous Hamiltonian dynamics on digital quantum computers without discretization error

We introduce an algorithm to compute Hamiltonian dynamics on digital quantum computers that requires only a finite circuit depth to reach an arbitrary precision, i.e. achieves zero discretization error with finite depth. This finite number of gates comes at the cost of an attenuation of the measured expectation value by a known amplitude, requiring more shots per circuit. The gate count for simulation up to time $t$ is $O(t^2\mu^2)$ with $\mu$ the $1$-norm of the Hamiltonian, without dependence on the precision desired on the result, providing a significant improvement over previous algorithms. The only dependence in the norm makes it particularly adapted to non-sparse Hamiltonians. The algorithm generalizes to time-dependent Hamiltonians, appearing for example in adiabatic state preparation. These properties make it particularly suitable for present-day relatively noisy hardware that supports only circuits with moderate depth.Comment: 5 page

Symmetries & tensor networks in two-dimensional quantum physics

The most general description of a quantum many-body system is given by a wave- function that lives in a Hilbert space with dimension exponential in the number of particles. This makes it extremely hard to study strongly correlated phenomena like the fractional quantum Hall effect and high-temperature superconductivity. Whenever interactions are sufficiently local and temperature is low, the system does not explore the full Hilbert space, but its ground state resides in the small corner of Hilbert space described by the area law. Containing little entanglement, the states can then be expressed as tensor networks, a family of wavefunctions with a polynomial number of parameters. On the one hand, tensor networks can be used as a variational manifold in nu- merical computations. On the other hand, they allow building model wavefunctions much like locality allows writing down physically realistic Hamiltonians. Besides allowing for an analytical treatment, these models grant access both to the physical and the entanglement degrees of freedom. This is particularly useful in classifying phases of matter. A large number of phases can be explained in terms of Landau’s symmetry-breaking paradigm. This framework, however, is not complete, as exemplified by the existence of phases with intrinsic topological order in two dimensions. It was a major conceptual advance when tensor networks could explain (non-chiral) topological phases as those where the symmetry resides in the entanglement degrees of freedom. The symmetries corresponding to those topological phases act as discrete, finite groups on the virtual degrees of freedom. The purpose of this Thesis is to generalize this program to include other symmetries. We investigate a class of tensor networks with continuous symmetries and find that they cannot describe gapped physics with a unique ground state. The abelian case is found to describe a non-Lorentz invariant phase transition point into a topologically ordered phase. The physics of the non- abelian case is that of a plaquette state that spontaneously breaks the translation symmetry of the lattice. The non-abelian PEPS arises as the ground state of a local parent Hamiltonian whose ground state manifold is completely characterized by the tensor network. In both cases, we find two types of corrections to the entanglement entropy: first there is a correction that is logarithmic in the size of the boundary and independent of the shape. A further correction depends only on the shape of the partition, imposing further restrictions on regions that are suffciently thin. Finally, we investigate symmetries that mix the virtual with the physical degrees of freedom and are furthermore anisotropic. Their physics is described by subsystem symmetry protected topological order. In particular, we focus on the entanglement entropy in the cluster phase and show that there is a universal constant correction to the entropy throughout the phase. This is important in the program of establishing the entanglement entropy as a detection mechanism for topologically ordered phases. We put forward a numerical algorithm to compute the correction and use it to discover a novel phase of matter in which the cluster phase is embedded.Die allgemeinste Beschreibung eines Quanten-Vielteilchensystems ergibt sich aus einer Wellenfunktion, die in einem Hilbert-Raum lebt, dessen Dimension exponentiell in der Anzahl der Teilchen ist. Dies macht es äußerst schwierig, stark korrelierte Phänomene wie den fraktionalen Quanten-Hall-Effekt und die Hochtemperatursupraleitung zu untersuchen. Wenn die Wechselwirkungen ausreichend lokal sind und die Temperatur niedrig ist, steht dem System nicht der gesamte Hilbert-Raum zur Verfügung. Sein Grundzustand befindet sich in der kleinen "Ecke" des Hilbert-Raums, die durch das area law beschrieben wird. Mit wenig Verschränkung können die Zustände dann als Tensornetzwerke ausgedrückt werden, eine Familie von Wellenfunktionen mit einer polynomiellen Anzahl von Parametern. Einerseits können Tensornetzwerke als variationelle Ansätze bei numerischen Berechnungen verwendet werden. Auf der anderen Seite ermöglichen sie das Erstellen von Modellwellenfunktionen. Diese Modelle ermöglichen nicht nur eine analytische Behandlung, sondern gewähren auch Zugang zu den physikalischen und den Verschränkungsfreiheitsgraden. Dies ist besonders nützlich bei der Klassifizierung von Phasen der Materie. Eine große Anzahl von Phasen kann mit Landaus Theorie der Symmetriebrechung erklärt werden. Diese Beschreibung ist jedoch nicht vollständig, was durch die Existenz von Phasen mit intrinsischer topologischer Ordnung in zwei Dimensionen veranschaulicht wird. Es war ein großer konzeptioneller Fortschritt, als Tensornetzwerke (nicht-chirale) topologische Phasen als solche identifizieren konnten, bei denen die Symmetrie in den Verschränkungsfreiheitsgraden liegt. Die diesen topologischen Phasen entsprechenden Symmetrien wirken als diskrete, endliche Gruppen auf den virtuellen Freiheitsgraden. Der Zweck dieser Arbeit ist es, dieses Programm auf andere Symmetrien zu verallgemeinern. Wir untersuchen eine Klasse von Tensornetzwerken mit kontinuierlichen Symmetrien und stellen fest, dass sie keine mit eindeutigen Grundzustand unter einer Energielücke beschreiben können. Der abelsche Fall beschreibt einen nicht-Lorentz-invarianten Phasenübergangspunkt in eine topologisch geordnete Phase. Die Physik des nicht-abelschen Falls ist die eines Plaquette-Zustands, der spontan die Translationssymmetrie des Gitters bricht. Der nicht-abelsche PEPS entsteht als Grundzustand eines lokalen \textit{parent}-Hamiltonians, dessen Grundzustandsunterraum vollständig durch das Tensornetzwerk beschrieben wird. In beiden Fällen finden wir zwei Arten von Korrekturen an der Verschränkungsentropie: Erstens gibt es eine Korrektur, die in der Größe der Grenze logarithmisch und unabhängig von der Form ist. Eine weitere Korrektur hängt nur von der Form des Schnitts ab ab, wodurch ausreichend dünne Bereiche weiter eingeschränkt werden. Schließlich untersuchen wir Symmetrien, die virtuelle und physikalische Freiheitsgraden mischen und darüber hinaus anisotrop sind. Ihre Physik wird durch topologische Ordnung beschrieben, die stabil ist solange bestimmte Subsystem-Symmetrien nicht gebrochen werden. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Verschränkungsentropie in der Clusterphase und zeigen, dass die Entropie in der gesamten Phase universell eine konstante Korrektur erhält. Dies ist wichtig im Programm zur Etablierung der Verschränkungsentropie als Detektionsmechanismus für topologisch geordnete Phasen. Wir schlagen einen numerischen Algorithmus vor, um die Korrektur zu berechnen und entdecken eine neue Phase der Materie, in die die Clusterphase eingebettet ist

Projected Entangled Pair States with continuous virtual symmetries

We study Projected Entangled Pair States (PEPS) with continuous virtual symmetries, i.e., symmetries in the virtual degrees of freedom, through an elementary class of models with SU(2) symmetry. Discrete symmetries of that kind have previously allowed for a comprehensive explanation of topological order in the PEPS formalism. We construct local parent Hamiltonians whose ground space with open boundaries is exactly parametrized by the PEPS wavefunction, and show how the ground state can be made unique by a suitable choice of boundary conditions. We also find that these models exhibit a logarithmic correction to the entanglement entropy and an extensive ground space degeneracy on systems with periodic boundaries, which suggests that they do not describe conventional gapped topological phases, but either critical models or some other exotic phase.Comment: 10+14 pages, 7 figure

Out-of-equilibrium dynamics of the XY spin chain from form factor expansion

We consider the XY spin chain with arbitrary time-dependent magnetic field and anisotropy. We argue that a certain subclass of Gaussian states, called Coherent Ensemble (CE) following [1], provides a natural and unified framework for out-of-equilibrium physics in this model. We show that $all$ correlation functions in the CE can be computed using form factor expansion and expressed in terms of Fredholm determinants. In particular, we present exact out-of-equilibrium expressions in the thermodynamic limit for the previously unknown order parameter one-point function, dynamical two-point function and equal-time three-point function.Comment: 44 page

Kommunikation av strategi inom organisationer - En fallstudie på SCA Packaging Sverige

Titel: Kommunikation av strategi inom organisationer – en fallstudie på SCA Packaging Sverige Ämne/Kurs: FEK 582 Kandidatseminarium, 10 poäng Författare: Olof Ask, Linus Asu och Henrik Dreyer Handledare: Gösta Wijk Företag: SCA Packaging Sverige Nyckelord: Kommunikation, Strategi, Effektivitet, Kommunikationsverktyg, Återkoppling Syfte: Uppsatsens syfte är att redogöra för hur och varför kommunikationen av SCA Packaging Sveriges strategi bedrivs och visa på eventuella styrkor och svagheter i densamma. Uppsatsens syfte är även att visa på vilka problem som upplevs inom organisationen rörande kommunikationen av strategi. Vidare är syftet med studien även att skapa oss en uppfattning av hur kommunikationen upplevts och uppfattats hos de anställda samt hur detta skiljer sig åt mellan olika typer av anställda. Ambitionen med studien är vidare att utifrån det mönster vi ser hos SCA Packaging Sverige formulera ett antal hypoteser som vi tror gäller generellt vid kommunikation av strategi inom organisationer Metod: Studien har tagit utgångspunkt i empirin och har således en induktiv ansats. Vidare har i denna uppsats samlats in data dels genom kvalitativ metod, i form av intervjuer och samtal, och dels genom kvantitativ metod, i form av en enkät. Teoretisk referensram: De teorier vi har använt oss av behandlar på vilket sätt man kan bedriva kommunikation av strategi samt hur detta skall göras på ett effektivt sätt. Referensramen utgår huvudsakligen från Laswells kommunikationsmodell och ”The Pyramid of Communication Quality”. Empiri: Avsnittet redogör för SCA Packaging Sveriges syfte med att kommunicera sin strategi samt genom vilka verktyg detta sker. Vidare beskrivs den enkät som skickades ut och vilka resultat denna visade. Slutsatser: Avsnittet tar upp och kommenterar de resultat som vi kommit fram till och som vi anser är av vikt. Vidare presenteras fyra hypoteser samt diskussion kring dessa. H1: Lång anställningstid bidrar inte till ökad lojalitetskänsla för organisationen hos den enskilda individen. H2: Rätt innehåll och form av kommunikation medför att samtliga individer förstår budskapet trots en icke homogen grupp. H3: För att omfattande information inom organisationer skall bli effektiv krävs det en blandning av kommunikationsverktyg, för att tillfullo utnyttja de olika verktygens styrkor. H4: Organisationer måste förse sina anställda med den kunskap och de verktyg som krävs för att välja ut vilken information som är viktig

Robust Extraction of Thermal Observables from State Sampling and Real-Time Dynamics on Quantum Computers

Simulating properties of quantum materials is one of the most promising applications of quantum computation, both near- and long-term. While real-time dynamics can be straightforwardly implemented, the finite temperature ensemble involves non-unitary operators that render an implementation on a near-term quantum computer extremely challenging. Recently, Lu, Bañuls and Cirac \cite{Lu2021} suggested a "time-series quantum Monte Carlo method" which circumvents this problem by extracting finite temperature properties from real-time simulations via Wick's rotation and Monte Carlo sampling of easily preparable states. In this paper, we address the challenges associated with the practical applications of this method, using the two-dimensional transverse field Ising model as a testbed. We demonstrate that estimating Boltzmann weights via Wick's rotation is very sensitive to time-domain truncation and statistical shot noise. To alleviate this problem, we introduce a technique that imposes constraints on the density of states, most notably its non-negativity, and show that this way, we can reliably extract Boltzmann weights from noisy time series. In addition, we show how to reduce the statistical errors of Monte Carlo sampling via a reweighted version of the Wolff cluster algorithm. Our work enables the implementation of the time-series algorithm on present-day quantum computers to study finite temperature properties of many-body quantum systems