Amoebas of complex hypersurfaces in statistical thermodynamics

The amoeba of a complex hypersurface is its image under a logarithmic projection. A number of properties of algebraic hypersurface amoebas are carried over to the case of transcendental hypersurfaces. We demonstrate the potential that amoebas can bring into statistical physics by considering the problem of energy distribution in a quantum thermodynamic ensemble. The spectrum ${\epsilon_k}\subset \mathbb{Z}^n$ of the ensemble is assumed to be multidimensional; this leads us to the notions of a multidimensional temperature and a vector of differential thermodynamic forms. Strictly speaking, in the paper we develop the multidimensional Darwin and Fowler method and give the description of the domain of admissible average values of energy for which the thermodynamic limit exists.Comment: 18 pages, 5 figure

Toric cycles in the complement to a complex curve in (C×)^2

Текст статьи не публикуется в открытом доступе в соответствии с политикой журнала.The amoeba of a complex curve in the 2‐dimensional complex torus is its image under the projection onto the real parts of the logarithmic coordinates. A toric cycle in the complement to a curve is a fiber of this projection over a point in the complement to the amoeba of the curve. We consider amoebas of complex algebraic curves defined by so‐called Harnack polynomials. We prove that toric cycles are homologically independent in the complement to a such curve

Discriminant and Singularities of Logarithmic Gauss Map, Examples and Application

Изучение гиперповерхностей, заданных в торе, приводит к прекрасному зоопарку амеб и их контуров, возможные конфигурации которых читаются из комбинаторных данных. Существует глубокая связь между теорией амеб и логарифмическим отображением Гаусса, а также его критическими точками, изучение которых находит приложения в различных областях. В статье мы напоминаем основные понятия и результаты из теории амеб, раскрываем некоторые ее связи с алгебраической теорией сингулярностей. Более того, мы приводим вычисления критических точек логарифмического отображения Гаусса в системе компьютерной алгебры SINGULAR, а также обсуждаем различные варианты и их эффективность. Здесь мы приходим к существенному наблюдению: содержательные примеры требуют наличия вещественных или даже рациональных решений соответствующей системы алгебраических уравнений.The study of hypersurfaces in a torus leads to the beautiful zoo of amoebas and their contours, whose possible configurations are seen from combinatorical data. There is a deep connection to the logarithmic Gauss map and its critical points. The theory has a lot of applications in many directions. In this report we recall basic notions and results from the theory of amoebas, show some connection to algebraic singularity theory and consider some consequences from the well known classification of singularities to this subject. Moreover, we have tried to compute some examples using the computer algebra system Singular and discuss different possibilities and their effectivity to compute the critical points. Here we meet an essential obstacle: Relevant examples need real or even rational solutions, which are found only by chance. We have tried to unify different views to that subject

Аналитическое продолжение диагоналей рядов Лорана рациональных функций

We describe branch points of complete q-diagonals of Laurent series for rational functions in several complex variables in terms of the logarithmic Gauss mapping. The sufficient condition of non-algebraicity of such a diagonal is provenМы описываем точки ветвления полных q-диагоналей рядов Лорана рациональных функций нескольких комплексных переменных в терминах логарифмического отображения Гаусса. Доказано достаточное условие неалгебраичности такой диагонал

Discriminant and Singularities of Logarithmic Gauss Map, Examples and Application

Изучение гиперповерхностей, заданных в торе, приводит к прекрасному зоопарку амеб и их контуров, возможные конфигурации которых читаются из комбинаторных данных. Существует глубокая связь между теорией амеб и логарифмическим отображением Гаусса, а также его критическими точками, изучение которых находит приложения в различных областях. В статье мы напоминаем основные понятия и результаты из теории амеб, раскрываем некоторые ее связи с алгебраической теорией сингулярностей. Более того, мы приводим вычисления критических точек логарифмического отображения Гаусса в системе компьютерной алгебры SINGULAR, а также обсуждаем различные варианты и их эффективность. Здесь мы приходим к существенному наблюдению: содержательные примеры требуют наличия вещественных или даже рациональных решений соответствующей системы алгебраических уравнений.The study of hypersurfaces in a torus leads to the beautiful zoo of amoebas and their contours, whose possible configurations are seen from combinatorical data. There is a deep connection to the logarithmic Gauss map and its critical points. The theory has a lot of applications in many directions. In this report we recall basic notions and results from the theory of amoebas, show some connection to algebraic singularity theory and consider some consequences from the well known classification of singularities to this subject. Moreover, we have tried to compute some examples using the computer algebra system Singular and discuss different possibilities and their effectivity to compute the critical points. Here we meet an essential obstacle: Relevant examples need real or even rational solutions, which are found only by chance. We have tried to unify different views to that subject

On the Asymptotics of Laurent Coefficients and its Application in Statistical Mechanics

В статье исследуется асимптотика коэффициентов ряда Лорана для мероморфных функций многих комплексных переменных. В основе исследования лежат понятия амебы для комплекс- ной гиперповерхности и логарифмического отображения Гаусса. Ряд Лорана интерпретируется как статистическая сумма, возникающая в квантовой термодинамике. Основной результат является обобщением на векторно-энергетический спектр известного метода Дарвина-Фаулера. Доказано, что если спектр конечен и порождает решетку, то для всех усредненных энергий, взятых из выпуклой оболочки спектра, средние значения распределений ансамбля совпадают с наиболее вероятными. Выдвигается гипотеза о верности этого утверждения и для бесконечного спектра.We study asymptotics of the Laurent coefficients for meromorphic functions of several complex variables. We employ notions of complex hypersurface amoeba and logarithmic Gauss map. The main result of this note is the generalization of the Darwin-Fowler method for the vector energy spectrum case

On the Asymptotics of Laurent Coefficients and its Application in Statistical Mechanics

В статье исследуется асимптотика коэффициентов ряда Лорана для мероморфных функций многих комплексных переменных. В основе исследования лежат понятия амебы для комплекс- ной гиперповерхности и логарифмического отображения Гаусса. Ряд Лорана интерпретируется как статистическая сумма, возникающая в квантовой термодинамике. Основной результат является обобщением на векторно-энергетический спектр известного метода Дарвина-Фаулера. Доказано, что если спектр конечен и порождает решетку, то для всех усредненных энергий, взятых из выпуклой оболочки спектра, средние значения распределений ансамбля совпадают с наиболее вероятными. Выдвигается гипотеза о верности этого утверждения и для бесконечного спектра.We study asymptotics of the Laurent coefficients for meromorphic functions of several complex variables. We employ notions of complex hypersurface amoeba and logarithmic Gauss map. The main result of this note is the generalization of the Darwin-Fowler method for the vector energy spectrum case