A note on Stokes' problem in dense granular media using the μ(I)\mu(I)--rheology

The classical Stokes' problem describing the fluid motion due to a steadily moving infinite wall is revisited in the context of dense granular flows of mono-dispersed beads using the recently proposed $\mu(I)$--rheology. In Newtonian fluids, molecular diffusion brings about a self-similar velocity profile and the boundary layer in which the fluid motion takes place increases indefinitely with time $t$ as $\sqrt{\nu t}$, where $\nu$ is the kinematic viscosity. For a dense granular visco-plastic liquid, it is shown that the local shear stress, when properly rescaled, exhibits self-similar behaviour at short-time scales and it then rapidly evolves towards a steady-state solution. The resulting shear layer increases in thickness as $\sqrt{\nu_g t}$ analogous to a Newtonian fluid where $\nu_g$ is an equivalent granular kinematic viscosity depending not only on the intrinsic properties of the granular media such as grain diameter $d$, density $\rho$ and friction coefficients but also on the applied pressure $p_w$ at the moving wall and the solid fraction $\phi$ (constant). In addition, the $\mu(I)$--rheology indicates that this growth continues until reaching the steady-state boundary layer thickness $\delta_s = \beta_w (p_w/\phi \rho g )$, independent of the grain size, at about a finite time proportional to $\beta_w^2 (p_w/\rho g d)^{3/2} \sqrt{d/g}$, where $g$ is the acceleration due to gravity and $\beta_w = (\tau_w - \tau_s)/\tau_s$ is the relative surplus of the steady-state wall shear-stress $\tau_w$ over the critical wall shear stress $\tau_s$ (yield stress) that is needed to bring the granular media into motion... (see article for a complete abstract).Comment: in press (Journal of Fluid Mechanics

An improved multiscale Eulerian-Lagrangian method for simulation of atomization process

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Etude de l'évolution spatio-temporelle d'un jet tournant tridimensionnel à masse volumique variable

La dynamique instable des jets tournants est étudiée, en tenant compte des variations de masse volumique au sein de l'écoulement. Un code de simulation numérique directe permettant de résoudre les équations de Navier-Stokes à masse volumique variable a été développé, en utilisant une méthode originale et efficace pour résoudre le champs de pression. Analytiquement, deux modes instables bidimensionnels ont été mis en évidence, et sont identifiés comme des modes de Couette-Taylor et de Rayleigh-Taylor, ainsi qu'un troisième mode tridimensionnel, du à un couplage de vitesse. La dynamique instable de cet écoulement résulte d'une compétition entre ces trois modes, et les simulations numériques montrent que ces modes perdurent non linéairement. Ensuite, le comportement spatio-temporel de cette instabilité est étudiée par simulation numérique directe, et il a été montré qu'il existe une transition vers des modes absolument instables, sous l'effet du rapport de densité s ainsi que du taux de rotation q. Cette dynamique est également étudiée expérimentalement au travers de plusieurs méthodes de mesures, et la présence de mode globaux auto-entretenus est mise en évidence qui sont en bon accord avec les résultats numériques. Finalement, le phénomène de l'éclatement tourbillonnaire est étudié, et montre le rôle prépondérant de la viscosité réelle. En effet, l'éclatement tourbillonnaire est un mécanisme permettant de soulager le système de l'intensification de la vorticité, au travers de la viscosité, alors qu'il n'apparaît pas en traitant les équations d'Euler tronquées.The unstable dynamics of a swirling jet flow is studied, including density variations within the flow. A direct numerical simulation method was developed to solve variable density Navier-Stokes equations, using an accurate and efficient pressure solver. Analitically, two unstable bi-dimensionnal modes are highlighted, and are identified as Couette-Taylor and Rayleigh-Taylor modes. A three-dimensionnal mode is also highlighted, wich is created by the shear. Numerical simulations show that those modes are nonlinearly persistant. Then, the spatio-temporal instability behaviour is studied numerically, and show that the instability undergoes to a convective/absolute transition with density ratio s and rotation rate q. This dynamic is also studied experiementally through different methods, and Global selfsustained modes are highlighted wich are in ggod agreement with numerical results. Finally, the vortex breakdown phenomenon is studied, and show the crucial role of real viscosity. Indeed, the vorticity intensification is relaxed through the viscosity effect, while it is not treating the truncated Euler Equations

L'éclatement tourbillonnaire : une dynamique pilotée par la viscosité des équations de Navier-Stokes

En utilisant une méthode de simulation numérique directe de précision spectrale, la dynamique de l'éclatement tourbillonnaire en spirale est étudiée. Deux modèles de jets tournants, qui sont solutions exactes des équations d'Euler incompressibles, sont utilisés. Ce phénomène est très souvent observé dans la nature ainsi que dans de nombreux dispositifs industriels et sa compréhension est d'une importance cruciale d'un point de vue fondamental. Ce phénomène se traduit par un changement brutal de la topologie, mais il n'existe aucune définition exacte de l'éclatement. Nous montrons que ce phénomène permet de soulager le système d'un étirement trop intense grâce à la viscosité et que l'éclatement apparaît sans la nécessité d'un point de stagnation dans l'écoulement. L'éclatement génère des petites échelles par un mécanisme de cascade et l'écoulement transite vers un état turbulent ( E k ~ k^(−5/3) ). Ces petites échelles en forme de ''bras en spirale'' sont éjectés dans la direction perpendiculaire à l'axe du jet. Nous avons également montré que l'éclatement est un mécanisme permettant d'éviter une singularité en un temps fini au travers de la viscosité, puisque ce phénomène n'apparaît pas au travers de la viscosité effective des modes thermalisés dans les équations d'Euler tronquées. Ces modes thermalisés à petites échelles ( E k ~ k^2 ) sont compatibles avec l'existence d'une singularité en un temps fini dans les équations d'Euler tronquées

A projection method for the spectral solution of non-homogeneous and incompressible Navier-Stokes equations

International audienceThis paper is devoted to the development of a parallel, spectral and second-order time-accurate method for solving the incompressible and variable density Navier–Stokes equations. The method is well suited for finite thickness density layers and is very efficient, especially for three-dimensional computations. It is based on an exact projection technique. To enforce incompressibility, for a non-homogeneous fluid, the pressure is computed using an iterative algorithm. A complete study of the convergence properties of this algorithm is done for different density variations. Numerical simulations showing, qualitatively, the capabilities of the developed Navier–Stokes solver for many realistic problems are presented. The numerical procedure is also validated quantitatively by reproducing growth rates from the linear instability theory in a three-dimensional direct numerical simulation of an unstable, non-homogeneous, flow configuration. It is also shown that, even in a turbulent flow, the spectral accuracy is recovered. Copyright © 2012 John Wiley & Sons, Ltd

Spatiotemporal instability of a variable-density Batchelor vortex

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Rayleigh-Taylor instability in variable density swirling flows

International audienceUsing linear instability theory and nonlinear dynamics, the Rayleigh-Taylor instability of variable density swirling flows is studied. It is found that the flow topology could be predicted, when the instability sets in, using a function χ dependent on density and axial and azimuthal velocities. It is shown that even when the inner axial-flow is heavier than the outer one (a favorable case for the development of the Rayleigh-Taylor instability thanks to the centrifugal force) the instability is not necessarily Rayleigh-Taylor-dominated. It is also shown that when the Rayleigh-Taylor instability develops, it is helical