Lecture Notes on Bergman projectors in tube domains over cones : an analytic and geometric viewpoint

In these notes we present in printed form the content of a se ries of lectures given by ve of the authors at the International Workshop in Classical Analysis held in Yaounde in December. Our purpose is to introduce the problem of Lppq boundedness of weighted Bergman projectors on tube domains over symmetric cones and show some of the latest progress obtained in this subject. We begin with a complete description of the situation on the upper halfplane. Next we introduce the geometric machinery necessary to study the problem in higher dimensions. This includes the riemannian structure of symmetric cones the induced Whitney decomposition and the introduction of a wider class of spaces with mixed Lp,q norms. Our main result is the boundedness of the weighted Bergman projector on the weighted mixed norm spaces Lp,q for an appropriate range of indices p q. Finally we conclude by discussing various applications further results and open questions

Preface

Ce numéro spécial de la revue IMHOTEP reproduit les textes d’une série de cours et de quatre (4) conférences dispensées pendant le Séminaire-Atelier "Analyse Classique, Equations aux Dérivées Partielles et Applications" tenu dans les locaux du Centre National de l’Education de Yaoundé (Cameroun) dans la semaine du 10 au 15 décembre 2001.Cette manifestation a rassemblé 53 participants autour des huit (8) conférenciers principaux suivants : David Békollé, Université de Yaoundé I (Cameroun) ; Aline Bonami, Université d’Orléans (France) ; Gustavo Garrigós, Universidad Autonoma de Madrid, Madrid (Espagne) ; Norbert Noutcheguemé, Université de Yaoundé I (Cameroun) ; Marco Peloso, Politecnico di Torino, Turin (Italie) ; Fulvio Ricci, Scuola Normale Superiore di Pisa, Pise (Italie) ; Emmanuel Tonyè, Université de Yaoundé I (Cameroun) ; Hamidou Touré, Université de Ouagadougou (Burkina Faso).Les participants venaient de la République du Congo (6), du Tchad (2), de la République Centrafricaine (2), de Côte d’Ivoire (2), du Burkina Faso (1), du Mali (1), du Sénégal (1) et du Cameroun (30). Ils étaient des ingénieurs des mines, des pétroles ou des télécommunications (4), des enseignants-chercheurs en mathématiques, des étudiants de DEA et des doctorants en mathématiques.Les organisateurs expriment leurs remerciements aux institutions et aux organismes suivants qui ont apporté leur soutien financier et matériel à l’organisation de ce séminaire-atelier  :1. le ministère camerounais de la Recherche Scientifique et Technique ;2. le Service de Coopération et d’Action Culturelle de l’Ambassade de France au Cameroun ;3. l’Université Autonome de Madrid (Espagne) ;4. le Centre International de Mathématiques Pures et Appliquées (CIMPA) de Nice (France) ;5. l’International Centre for Theoretical Physics (ICTP) de Trieste (Italie).Ce numéro spécial de la revue IMHOTEP reproduit les textes d’une série de cours et de quatre (4) conférences dispensées pendant le Séminaire-Atelier "Analyse Classique, Equations aux Dérivées Partielles et Applications" tenu dans les locaux du Centre National de l’Education de Yaoundé (Cameroun) dans la semaine du 10 au 15 décembre 2001.Cette manifestation a rassemblé 53 participants autour des huit (8) conférenciers principaux suivants : David Békollé, Université de Yaoundé I (Cameroun) ; Aline Bonami, Université d’Orléans (France) ; Gustavo Garrigós, Universidad Autonoma de Madrid, Madrid (Espagne) ; Norbert Noutcheguemé, Université de Yaoundé I (Cameroun) ; Marco Peloso, Politecnico di Torino, Turin (Italie) ; Fulvio Ricci, Scuola Normale Superiore di Pisa, Pise (Italie) ; Emmanuel Tonyè, Université de Yaoundé I (Cameroun) ; Hamidou Touré, Université de Ouagadougou (Burkina Faso).Les participants venaient de la République du Congo (6), du Tchad (2), de la République Centrafricaine (2), de Côte d’Ivoire (2), du Burkina Faso (1), du Mali (1), du Sénégal (1) et du Cameroun (30). Ils étaient des ingénieurs des mines, des pétroles ou des télécommunications (4), des enseignants-chercheurs en mathématiques, des étudiants de DEA et des doctorants en mathématiques.Les organisateurs expriment leurs remerciements aux institutions et aux organismes suivants qui ont apporté leur soutien financier et matériel à l’organisation de ce séminaire-atelier  :1. le ministère camerounais de la Recherche Scientifique et Technique ;2. le Service de Coopération et d’Action Culturelle de l’Ambassade de France au Cameroun ;3. l’Université Autonome de Madrid (Espagne) ;4. le Centre International de Mathématiques Pures et Appliquées (CIMPA) de Nice (France) ;5. l’International Centre for Theoretical Physics (ICTP) de Trieste (Italie)

Reproducing properties and LpL^p-estimates for Bergman projections in Siegel domains of type II

On homogeneous Siegel domains of type II, we prove that under certain conditions, the subspace of a weighted $L^p$-space (0 < p < ∞) consisting of holomorphic functions is reproduced by a weighted Bergman kernel. We also obtain some $L^p$-estimates for weighted Bergman projections. The proofs rely on a generalization of the Plancherel-Gindikin formula for the Bergman space $A^2$