On the generalized spectral subradius

AbstractIn this note we study the concepts of generalized spectral subradius and joint spectral subradius of a family of matrices. We show that both these numbers are equal and we present two different formulas for them. We also explain the relation between them and maximal Lyapunov exponent of discrete linear time varying system. Finally we show that the spectral subradius is less than one if and only if a discrete linear inclusion is stable in a certain sense

Spectra based on Bohl exponents and Bohl dichotomy for nonautonomous difference equations

For nonautonomous linear difference equations with bounded coefficients on $\mathbb{N}$ which have a bounded inverse, we introduce two different notions of spectra and discuss their relation to the well-known exponential dichotomy spectrum. The first new spectral notion is called Bohl spectrum and is based on an extended notion of the concept of Bohl exponents. The second new spectral notion is called Bohl dichotomy spectrum and is based on a relaxed version of exponential dichotomy called Bohl dichotomy. We prove spectral theorems and show that the Bohl dichotomy spectrum is the closure of the Bohl spectrum and also a subset of the exponential dichotomy spectrum. We discuss the spectra of upper triangular systems and how they relate to the spectra of their diagonal entries. An example illustrates the subtle differences between the different notions of spectra

On the exponential exponents of discrete linear systems

AbstractIn this paper we introduce the concepts of exponential exponents of discrete linear time varying systems. It is shown that these exponents describe the possible changes in the Lyapunov exponents under perturbation decreasing at infinity at exponential rate. Finally we present formulas for the exponential exponents in terms of the transition matrix of the system

A formula for the lower Bohl exponent of discrete time-varying systems

In this note, a formula for the lower Bohl exponent of a discrete system with variable coefficients and weak variation was proved. This formula expresses the Bohl exponent through the eigenvalues of the coefficient matrix. Based on these formulas a necessary and sufficient condition for an uniform exponential instability of such systems is also presented

Asymptotic properties of discrete linear fractional equations

In this paper we study the dynamical behavior of linear discrete-time fractional systems. The first main result is that the norm of the difference of two different solutions of a time-varying discrete-time Caputo equation tends to zero not faster than polynomially. The second main result is a complete description of the decay to zero of the trajectories of one-dimensional time-invariant stable Caputo and Riemann-Liouville equations. Moreover, we present Volterra convolution equations, that are equivalent to Caputo equations

Variation of constant formulas for fractional difference equations

In this paper, we establish variation of constant formulas for both Caputo and Riemann- Liouville fractional difference equations. The main technique is the Z -transform. As an application, we prove a lower bound on the separation between two different solutions of a class of nonlinear scalar fractional difference equations

Adaptive control of continuous time linear stochastic system with quadratic cost functional

Praca składa się z czterech części. W części pierwszej sformułowano i podano rozwiązanie zagadnienia sterowania optymalnego w liniowym układzie stochastycznym z kwadratowym funkcjonałem kosztów na skończonym i nieskończonym przedziale czasowym. Twierdzenie 1, podające postać sterowania optymalnego na skończonym przedziale czasowym, jest dobrze znane ([l], [5]), natomiast twierdzenie 2 jest uogólnieniem znanych rezultatów. Zwykle formułuje się je przy założeniach gwarantujących istnienie i jedyność rozwiązania algebraicznego równania Riccatiego ([5], [4]). W tym sformułowaniu w jakim znajduje się w pracy można je znaleźć w [16] ale dla układu deterministycznego. W części drugiej zbadano własności algebraicznego równania Riccatiego. Algebraiczne równanie Riccatiego odgrywa pierwszoplanową rolę w konstrukcji sterowania optymalnego i poświęcono mu wiele uwagi w pracach [2], [4], [13], [15], Twierdzenie 5 pokazuje na jakie trudności możemy natrafić w procedurze adaptacyjnego sterowania, gdy nieznane współczynniki równania Riccatiego będziemy zastępować ich ocenami. Problem ten obszerniej omówiono w [4] i [8]. Głównym wynikiem tej części pracy jest twierdzenie 6, które odgrywa zasadniczą rolę w konstrukcji i dowodzie optymalności sterowania adaptacyjnego. W części trzeciej skonstruowano ocenę największego prawdopodobieństwa dla macierzy liniowej transformacji stanu. Estymator ten pojawił się po raz pierwszy w zagadnieniu sterowania optymalnego w pracy [12]. Wreszcie w czwartej, głównej części pracy podano algorytm sterowania adaptacyjnego oraz dowód jego optymalności (twierdzenie 10). Podany algorytm i dowód jego optymalności są modyfikacją wyników podanych w [6] i [7], Obejmują one ogólniejsze przypadki niż w tych pracach, gdzie zakłada się znajomość domkniętego, spójnego i ograniczonego zbioru, do którego należy oceniany parametr, niemniej uzyskane rezultaty są jeszcze dalekie od analogicznych wyników uzyskanych w pracy [3] dla czasu dyskretnego.An adaptive control problem for linear, continuous time stochastic system is described and solved in this paper. The unknown parameters in the model appear affinely in the drift term of the stochastic differential equation. The parameter estimates given by the maximum likelihood method are used to define the feedback gain. It is proved that the parameter estimates are strongly consistent and the cost functional reaches its minimum, i.e. the adaptive control is optimal. In this paper the continuity of the solution of the algebraic Riccati equation as a function of coefficient is also verified. The continuity is important for applications to problems in adaptive control

Adaptive Control of Discrete Time-Varying LQGko

.The adaptive version of the discrete time-varying linear quadratic control is considered under the assumption that the coefficients have limits as time tends to infinity sufficiently fast in certain sense and the limiting system is observable and stabilizable. It is proved that time invariant LS estimator can be used to estimate the limits of the coefficients and that it is strongly consistent under some conditions well known from the time invariant case. The estimator of the parameters is used to define an adaptive control law and it is shown that the control law is optimal