A note on intermittency for the fractional heat equation

The goal of the present note is to study intermittency properties for the solution to the fractional heat equation \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = -(-\Delta)^{\beta/2} u(t,x) + u(t,x)\dot{W}(t,x), \quad t>0,x \in \bR^d with initial condition bounded above and below, where $\beta \in (0,2]$ and the noise $W$ behaves in time like a fractional Brownian motion of index $H>1/2$, and has a spatial covariance given by the Riesz kernel of index $\alpha \in (0,d)$. As a by-product, we obtain that the necessary and sufficient condition for the existence of the solution is $\alpha<\beta$.Comment: 12 page

On the chaotic character of the stochastic heat equation, before the onset of intermitttency

We consider a nonlinear stochastic heat equation $\partial_tu=\frac{1}{2}\partial_{xx}u+\sigma(u)\partial_{xt}W$, where $\partial_{xt}W$ denotes space-time white noise and $\sigma:\mathbf {R}\to \mathbf {R}$ is Lipschitz continuous. We establish that, at every fixed time $t>0$, the global behavior of the solution depends in a critical manner on the structure of the initial function $u_0$: under suitable conditions on $u_0$ and $\sigma$, $\sup_{x\in \mathbf {R}}u_t(x)$ is a.s. finite when $u_0$ has compact support, whereas with probability one, $\limsup_{|x|\to\infty}u_t(x)/({\log}|x|)^{1/6}>0$ when $u_0$ is bounded uniformly away from zero. This sensitivity to the initial data of the stochastic heat equation is a way to state that the solution to the stochastic heat equation is chaotic at fixed times, well before the onset of intermittency.Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/11-AOP717 the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

On the chaotic character of the stochastic heat equation, II

Consider the stochastic heat equation $\partial_t u = (\frac{\varkappa}{2})\Delta u+\sigma(u)\dot{F}$, where the solution $u:=u_t(x)$ is indexed by $(t,x)\in (0, \infty)\times\R^d$, and $\dot{F}$ is a centered Gaussian noise that is white in time and has spatially-correlated coordinates. We analyze the large-$|x|$ fixed-$t$ behavior of the solution $u$ in different regimes, thereby study the effect of noise on the solution in various cases. Among other things, we show that if the spatial correlation function $f$ of the noise is of Riesz type, that is $f(x)\propto \|x\|^{-\alpha}$, then the "fluctuation exponents" of the solution are $\psi$ for the spatial variable and $2\psi-1$ for the time variable, where $\psi:=2/(4-\alpha)$. Moreover, these exponent relations hold as long as $\alpha\in(0, d\wedge 2)$; that is precisely when Dalang's theory implies the existence of a solution to our stochastic PDE. These findings bolster earlier physical predictions

Devenir parent d'élève : scolarisation des pratiques éducatives parentales et enjeux de reconnaissance

International audienceL’entrée à l’école signifie une période de transition importante non seulement pour l’enfant, mais également pour ses parents, particulièrement lorsqu’il s’agit de l’enfant aîné. Si l’enfant devient élève, le parent devient parent d’élève, dans un équilibre à trouver entre engagement dans le milieu familial et scolaire. À partir de données issues d’une recherche de type ethnographique menée dans un établissement scolaire suisse accueillant des enfants issus majoritairement de familles migrantes et/ou disposant de faibles revenus socio-économiques, nous investiguons dans cette communication la manière dont se négocient les rôles d’enseignant et de parent d’élève dans les tout premiers moments de leur relation. Dans un contexte où école et familles sont désormais appelées à œuvrer en tant que partenaires, dans un souci d’égalisation des chances scolaires, nous constatons que la négociation des rôles se déroule de manière très asymétrique dès les toutes premières interactions entre parents et enseignants, entre des enseignants placés dans un rôle d’experts de l’éducation et des parents assignés à un rôle de soutien de la scolarisation de l’enfant et du travail de l’enseignant. Empreinte d’une logique de normalisation et de réparation, cette négociation des rôles amène à un processus de scolarisation des pratiques éducatives parentales soulevant d’importants enjeux en termes de reconnaissance