On Chern ratios for surfaces with ample cotangent bundle

In this paper we study the problem of density in (1,3] for the Chern ratio of surfaces with ample cotangent bundle. In particular we prove density in (1,2) by constructing a family of complete intersection surfaces in a product of varieties with big cotangent bundle. We also analyse the case of complete intersections in a product of curves of genus at least 2.Comment: 10 pages, corrected typos, updated reference

Courbes rationnelles et hypersurfaces de l'espace projectif

An algebraic variety is unirational if it is dominated by a projective space; it is separably unirational if one can take separable the previous morphism. This last property has interest only in positive characteristic. By writing again the demonstration of Paranjape and Srinivas of the unirationality of the hypersurfaces of very small degree in front of dimension, we notice that it shows in fact the separable unirationality. We are interested also in the separability of the morphisms provided by various traditional constructions of unirationality of cubic hypersurfaces.In the third part, we study the separable rational connectedness: a smooth projective variety X on a algebraically closed field is separably rationally connected if there is a very free rational curve (i.e. with an ample tangent bundle) on X. We test on the Fermat's hypersurfaces of dimension N-1 and degree q+1, where q is a power of the characteristic of the ground field, the conjecture that all the smooth hypersurfaces of dimension N-1 and degree smaller than N are separably rationally connected. We show that for N larger than 2q-1, the Fermat's hypersurface of degree q+1 contains a very free rational curve definite on the prime subfield; it is thus separably rationally connected.Une variété algébrique est dite unirationnelle si elle est dominée par un espace projectif ; elle est dite séparablement unirationnelle si on peut prendre le morphisme précédent séparable. Cette dernière propriété n'a d'intérêt qu'en caractéristique positive. En reprenant la démonstration de Paranjape et Srinivas de l'unirationalité des hypersurfaces de degré très petit devant la dimension, nous remarquons qu'elle montre en fait l'unirationalité séparable. Nous nous intéressons aussi à la séparabilité des morphismes fournis par différentes constructions classiques de l'unirationalité des hypersurfaces cubiques.Dans la troisième partie, nous étudions la connexité rationnelle séparable : une variété projective lisse X sur un corps algébriquement clos est dite séparablement rationnellement connexe s'il existe une courbe rationnelle très libre (c'est-à-dire à fibré normal ample) sur X. Nous testons sur les hypersurfaces de Fermat de dimension N-1 et de degré q+1, où q est une puissance de la caractéristique du corps de base, la conjecture que toutes les hypersurfaces lisses de dimension N-1 et de degré plus petit que N sont séparablement rationnellement connexes. Nous montrons que pour N plus grand que 2q-1, l'hypersurface de Fermat de degré q+1 contient une courbe rationnelle très libre définie sur le sous-corps premier ; elle est donc séparablement rationnellement connexe