5 research outputs found
The Mirrors Model : Macroscopic Diffusion Without Noise or Chaos
We first clarify through classical examples the status of the laws of
macroscopic physics as laws of large numbers. We next consider the mirrors
model in a finite -dimensional domain and connected to particles reservoirs
at fixed chemical potentials. The dynamics is purely deterministic and
non-ergodic. We study the macroscopic current of particles in the stationary
regime. We show first that when the size of the system goes to infinity, the
behaviour of the stationary current of particles is governed by the proportion
of orbits crossing the system. This allows to formulate a necessary and
sufficient condition on the distribution of the set of orbits that ensures the
validity of Fick's law. Using this approach, we show that Fick's law relating
the stationary macroscopic current of particles to the concentration difference
holds in three dimensions and above. The negative correlations between crossing
orbits play a key role in the argument
Study of diffusion of weekly random process in random environment
Cette thèse étudie la diffusion dans le modèle des miroirs, modèle inspiré de la physique et introduit en 1988 par Ruijgrok et Cohen. Ce modèle est déterministe et réversible. Pour traiter ce modèle difficile, initialement défini uniquement en dimension 2, nous l'avons d'abord généralisé pour en faire un modèle en dimension quelconque. De premières études numériques permirent de conjecturer que le modèle est diffusif en dimension supérieur ou égale à 3. Nous avons par la suite exploré une approche perturbative du coefficient de diffusion basée sur la technique de lace expansion développée par Gordon Slade pour l'étude de la marche aléatoire auto-évitante. Face à la difficulté des calculs nous avons légèrement simplifié le modèle en abandonnant la contrainte de réversibilité. Nous avons obtenu ainsi un nouveau modèle que nous nommons le modèle des permutations. Nous avons ensuite transformé ces deux modèles pour en faire des marches aléatoires en milieu aléatoire, et ce via une approche systématique et généraliste. Grâce à ces modifications nous avons pu pousser l'approche perturbative jusqu'à obtenir une approximation satisfaisante de la valeur du coefficient de diffusion dans le modèle des permutations. Le résultat principal est l'existence d'une série dont tout les termes sont bien définis et dont les premiers termes fournissent l'approximation voulue. La convergence de cette série reste un problème ouvert. Les résultats analytiques sont appuyés par une approche numérique de ces modèles, ce qui permet de voir que la lace expansion donne des résultats de qualité. De nombreuses questions restent ouvertes, notamment le calcul des termes suivants du développement perturbatif et la généralisation de cette approche au modèle des miroirs, ce qui ne saurait poser problème, puis à une classe plus large de modèles.This thesis studies the diffusion in the mirrors model, a physics-based model introduced in 1988 by Ruijgrok and Cohen. This model is deterministic and reversible. To treat this difficult model, initially defined only in dimension 2, we first generalized it to a model valid in any dimension. Initial numerical studies suggested that the model is diffusive in dimensions greater than or equal to 3. We then explored a perturbative diffusion coefficient approach based on the lace expansion technique developed by Gordon Slade for the study of self-avoiding random walk. Faced with the difficulty of the calculations, we slightly simplified the model by giving up the reversibility constraint. We thus obtained a new model that we call the permutations model. We then transformed these two models into random walks in random environment using a systematic and general approach. Thanks to these modifications, we were able to push the perturbative approach to obtain a satisfactory approximation of the value of the diffusion coefficient in the permutations model. The main result is the existence of a series in which all terms are well defined and the first terms provide the desired approximation. The convergence of this series remains an open problem. The analytical results are supported by a numerical approach to these models, which shows that the lace expansion gives quality results. Many questions remain open, including the calculation of the following terms of perturbative development and the generalization of this approach to the mirrors model -which should not be a problem- and then to a broader class of models
Étude de la diffusion des processus déterministes et faiblement aléatoires en environnement aléatoire
This thesis studies the diffusion in the mirrors model, a physics-based model introduced in 1988 by Ruijgrok and Cohen. This model is deterministic and reversible. To treat this difficult model, initially defined only in dimension 2, we first generalized it to a model valid in any dimension. Initial numerical studies suggested that the model is diffusive in dimensions greater than or equal to 3. We then explored a perturbative diffusion coefficient approach based on the lace expansion technique developed by Gordon Slade for the study of self-avoiding random walk. Faced with the difficulty of the calculations, we slightly simplified the model by giving up the reversibility constraint. We thus obtained a new model that we call the permutations model. We then transformed these two models into random walks in random environment using a systematic and general approach. Thanks to these modifications, we were able to push the perturbative approach to obtain a satisfactory approximation of the value of the diffusion coefficient in the permutations model. The main result is the existence of a series in which all terms are well defined and the first terms provide the desired approximation. The convergence of this series remains an open problem. The analytical results are supported by a numerical approach to these models, which shows that the lace expansion gives quality results. Many questions remain open, including the calculation of the following terms of perturbative development and the generalization of this approach to the mirrors model -which should not be a problem- and then to a broader class of models.Cette thèse étudie la diffusion dans le modèle des miroirs, modèle inspiré de la physique et introduit en 1988 par Ruijgrok et Cohen. Ce modèle est déterministe et réversible. Pour traiter ce modèle difficile, initialement défini uniquement en dimension 2, nous l'avons d'abord généralisé pour en faire un modèle en dimension quelconque. De premières études numériques permirent de conjecturer que le modèle est diffusif en dimension supérieur ou égale à 3. Nous avons par la suite exploré une approche perturbative du coefficient de diffusion basée sur la technique de lace expansion développée par Gordon Slade pour l'étude de la marche aléatoire auto-évitante. Face à la difficulté des calculs nous avons légèrement simplifié le modèle en abandonnant la contrainte de réversibilité. Nous avons obtenu ainsi un nouveau modèle que nous nommons le modèle des permutations. Nous avons ensuite transformé ces deux modèles pour en faire des marches aléatoires en milieu aléatoire, et ce via une approche systématique et généraliste. Grâce à ces modifications nous avons pu pousser l'approche perturbative jusqu'à obtenir une approximation satisfaisante de la valeur du coefficient de diffusion dans le modèle des permutations. Le résultat principal est l'existence d'une série dont tout les termes sont bien définis et dont les premiers termes fournissent l'approximation voulue. La convergence de cette série reste un problème ouvert. Les résultats analytiques sont appuyés par une approche numérique de ces modèles, ce qui permet de voir que la lace expansion donne des résultats de qualité. De nombreuses questions restent ouvertes, notamment le calcul des termes suivants du développement perturbatif et la généralisation de cette approche au modèle des miroirs, ce qui ne saurait poser problème, puis à une classe plus large de modèles
On the derivation of the laws of macroscopic diffusion (Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems)
"Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems". October 26~29, 2015. edited by Ryoki Fukushima, Tadahisa Funaki, Yukio Nagahata, Makoto Nakashima, Hirofumi Osada and Yoshiki Otobe. The papers presented in this volume of RIMS Kôkyûroku Bessatsu are in final form and refereed.We report recent rigorous and numerical results obtained on the derivation of Fick's law for deterministic dynamics in random environment