Homogenization of Attractors to Ginzburg-Landau Equations in Media with Locally Periodic Obstacles: Critical Case

In this paper the Ginzburg-Landau equation is considered in locally periodic porous medium, with rapidly oscillating terms in the equation and boundary conditions. It is proved that the trajectory attractors of this equation converge in a weak sense to the trajectory attractors of the limit Ginzburg-Landau equation with an additional potential term. For this aim we use an approach from the papers and monographs of V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik concerning trajectory attractors of evolution equations. Also we apply homogenization methods appeared at the end of the XX-th century. First, we apply the asymptotic methods for formal construction of asymptotics, then, we verify the leading terms of asymptotic series by means of the methods of functional analysis and integral estimates. Defining the appropriate axillary functional spaces with weak topology, we derive the limit (homogenized) equation and prove the existence of trajectory attractors for this equation. Then we formulate the main theorem and prove it with the help of axillary lemmas

On the issue of shielding properties of plasma in the outside separatrix region of U-3M

When providing experiments on RF plasma production and heating in U-3M torsatron there was observed sudden decrease (up to two times) of mean confined plasma density during step-rise of an RF antenna voltage. Trying to analyze the reason of this effect we estimated a screening effect of the out-separatix plasma, characteristics of which were recently measured. It was found that at the plasma confinement border the attenuation is: 6 % for H2, 1.4, 7, 6 % for C, Fe and Ti atoms correspondingly. This is much below the result of attenuation (~70 %) estimated in [1] for the flux of laser ablated C atoms.При проведении экспериментов на торсатроне У-3M при ВЧ-способе создания и нагрева плазмы наблюдалось неожиданное уменьшение (примерно двукратное) средней плотности удерживаемой плазмы при ступенчатом нарастании напряжения на ВЧ-антенне. Пытаясь установить причину этого явления, мы оценили экранирующую роль засепаратрисной области плазмы по результатам недавно проведенных измерений. Было установлено, что на границе удерживаемой плазмы ослабление потока составляет: 6 % для Н2, 1.4, 7, 6 % для C, Fe, Ti соответственно. Это значительно ниже степени ослабления (~70 %), полученной в работе [1] для потока атомов С при лазерной абляции графитовой мишени.При проведенні експериментів на торсатроні У-3М при ВЧ-способі створення та нагріву плазми спостерігалося несподіване зменшення (приблизно дворазове) середньої густини утримуваної плазми при ступінчастому наростанні напруги на ВЧ-антені. Намагаючись встановити причину цього явища, ми оцінили екрануючу роль засепаратрисної області плазми за результатами недавно проведених вимірювань. Було встановлено, що на межі утримуваної плазми ослаблення потоку становить: 6 % для Н2, 1,4, 7, 6 % для C, Fe, Ti відповідно. Це значно нижче ступеня ослаблення (~ 70 %), отриманого в роботі [1] для потоку атомів С при лазерній абляції графітової мішені

Homogenization of Attractors to Ginzburg-Landau Equations in Media with Locally Periodic Obstacles: Critical Case

In this paper the Ginzburg-Landau equation is considered in locally periodic porous medium, with rapidly oscillating terms in the equation and boundary conditions. It is proved that the trajectory attractors of this equation converge in a weak sense to the trajectory attractors of the limit Ginzburg-Landau equation with an additional potential term. For this aim we use an approach from the papers and monographs of V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik concerning trajectory attractors of evolution equations. Also we apply homogenization methods appeared at the end of the XX-th century. First, we apply the asymptotic methods for formal construction of asymptotics, then, we verify the leading terms of asymptotic series by means of the methods of functional analysis and integral estimates. Defining the appropriate axillary functional spaces with weak topology, we derive the limit (homogenized) equation and prove the existence of trajectory attractors for this equation. Then we formulate the main theorem and prove it with the help of axillary lemmas

Influence of the frame-type antenna on the RF-discharge peripheral plasma parameters in the Uragan-3M torsatron

A qualitative evaluation is made of what changes of the electric potential near the frame-type antenna occur under the influence of following effects: the ponderomotive Miller force, which acts on plasma electrons near the source of radiation; the rectification of the probe oscillating potential of the RF waves, which are excited by the frame-type antenna; and the rectified potential of the antenna, which arises, when RF power is on.Получены качественные оценки изменения электрического потенциала вблизи рамочной антенны вследствие воздействия: пондеромоторной силы Миллера, которая действует на электроны плазмы вблизи источника излучения; выпрямленного зондом осциллирующего потенциала высокочастотных волн, возбуждаемых рамочной антенной; и выпрямленного потенциала рамочной антенны, возникающего при подаче на неё ВЧ-напряжения.Отримані якісні оцінки зміни електричного потенціалу поблизу рамкової антени внаслідок впливу: пондеромоторної сили Міллера, яка діє на електрони плазми поблизу джерела випромінювання; випрямленого зондом осцилюючого потенціалу високочастотних хвиль, які збуджуються рамочною антеною; випрямленого потенціалу рамочної антени, який виникає при подачі на неї ВЧ-напруги

Levy Anomalous Diffusion and Fractional Fokker--Planck Equation

We demonstrate that the Fokker-Planck equation can be generalized into a 'Fractional Fokker-Planck' equation, i.e. an equation which includes fractional space differentiations, in order to encompass the wide class of anomalous diffusions due to a Levy stable stochastic forcing. A precise determination of this equation is obtained by substituting a Levy stable source to the classical gaussian one in the Langevin equation. This yields not only the anomalous diffusion coefficient, but a non trivial fractional operator which corresponds to the possible asymmetry of the Levy stable source. Both of them cannot be obtained by scaling arguments. The (mono-) scaling behaviors of the Fractional Fokker-Planck equation and of its solutions are analysed and a generalization of the Einstein relation for the anomalous diffusion coefficient is obtained. This generalization yields a straightforward physical interpretation of the parameters of Levy stable distributions. Furthermore, with the help of important examples, we show the applicability of the Fractional Fokker-Planck equation in physics.Comment: 22 pages; To Appear in Physica

Density and potential fluctuations in the edge plasma of the Uragan-3m torsatron

Ion saturation current and floating potential fluctuations are recorded by movable array of 4 Langmuir probes near the boundary of the confinement region in the l = 3/m = 9 Uragan-3M torsatron with an RF produced and heated plasma. On the basis of these data main spectral and time characteristics of the low frequency electrostatic turbulence have been derived. The existence of the radial electric field shear and reversal of poloidal phase velocity of the fluctuations at the plasma boundary have been confirmed. The time function of the turbulent E×B particle flux contains intermittent bursts with the amplitude multiply exceeding the average flux. Up to 70% of the total fluctuating flux is carried in these bursts

Study of wave processes at the initial stage of RF-heating in the Uragan-3M torsatron

The study of wave processes occurring during the initial stage of RF plasma heating in the Uragan-3M torsatron was performed with using movable magnetic and electric probes. The heating was carried out by the frame antenna. The electric probe allowed to register changes of the plasma density profile, while the magnetic probes measured amplitude and phase shifts between all magnetic field components at different points over the plasma column cross-section. The frequency spectrum of magnetic field fluctuations contains the main frequency that coincides with the RF oscillator frequency and higher harmonics. The amplitude of the 2nd harmonic in this mode can be compared with the amplitude of the basic harmonic.С помощью подвижных магнитных и электрических зондов в торсатроне Ураган-3М были изучены волновые процессы, протекающие на начальной стадии ВЧ-нагрева. Нагрев плазмы проводился с помощью “рамочной” антенны. Электрический зонд позволял регистрировать изменение профиля плотности плазмы, а магнитные зонды измеряли амплитуду и сдвиг фаз между всеми компонентами поля в различных точках по сечению плазменного шнура. Частотный спектр регистрируемых колебаний магнитного поля содержит основную частоту, совпадающую с частотой ВЧ-генератора, и более высокие гармоники. Амплитуда второй гармоники в данном режиме может быть сравнима с амплитудой основной гармоники.За допомогою рухливих магнітних і електричних зондів у торсатроні Ураган-3М були вивчені хвильові процеси, що протікають на початковій стадії ВЧ-нагріву. Нагрівання плазми проводилося за допомогою "рамкової" антени. Електричний зонд дозволяв реєструвати зміну профілю щільності плазми, а магнітні зонди вимірювали амплітуду і зрушення фаз між усіма компонентами поля в різних точках по перерізу плазмового шнура. Частотний спектр реєстрованих коливань магнітного поля містить основну частоту, яка збігається з частотою ВЧ-генератора, і більш високі гармоніки. Амплітуда другої гармоніки в даному режимі може бути порівнянна з амплітудою основної гармоніки

Characteristics of edge plasma turbulence in spontaneous change of confinement mode in the URAGAN-3M torsatron

It is shown that in the Uragan-3M torsatron under conditions of spontaneous change of confinement mode caused by formation of an internal transport barrier, a layer with the E×B velocity shear appears at the boundary of confinement region. Appreciable changes of the edge microturbulence characteristics and turbulence-induced particle flux in the vicinity of this layer evidence a formation of the edge transport barrier as well.В торсатроні У-3М при зміні режиму утримання, викликаній створенням внутрішнього транспортного бар’єра, біля границі плазми виникає шар з шіром швидкості Е×В. Відповідні зміни характеристик дрібномасштабної турбулентності поблизу цього шару та викликаного турбулентністю радіального потоку частинок свідчать про створення також і крайового транспортного бар’єра.В торсатроне У-3М при изменении режима удержания плазмы, вызванном образованием внутреннего транспортного барьера, вблизи границы плазмы появляется слой с широм скорости Е×В. Соответствующие изменения характеристик мелко-масштабной турбулентности в окрестности этого слоя и вызванного турбулентностью радиального потока частиц, свидетельствуют об образовании также и краевого транспортного барьера

Peripheral plasma characteristics in the Uragan-3M torsatron

In the l=3/m=9 Uragan-3M (U-3M) torsatron a hydrogen plasma is produced and heated by RF fields in the Alfvén range of frequencies (ω≤ωci). Peripheral plasma is investigated using two moveable Langmuir probes. Spatial distributions of plasma parameters, Vf, Te and ne in two operating regimes and in three cross-sections are measured. Link between confinement volume and transition layer is shown. RF electric antenna field influence on the probes is discussed.В торсатроне Ураган-3М (У-3М) водородная плазма создается и нагревается ВЧ-полями в области альфвеновских частот (ω≤ωci). Периферийная плазма исследована с помощью двух подвижных ленгмюровских зондов. Пространственные распределения параметров плазмы (Vf, Te и ne) были измерены в двух режимах работы установки в трех полоидальных сечениях. Показано существование связи между областью удержания и переходным слоем. Обсуждается влияние ВЧ-электрического поля антенны на зонд.У торсатроні Ураган-3М (У-3М) воднева плазма створюється та нагрівається ВЧ-полями в області альфвенівських частот (ω≤ωci). Периферійна плазма досліджена за допомогою двох рухомих ленгмюровських зондів. Просторові розподіли параметрів плазми (Vf, Te та ne) були виміряні в двох режимах роботи установки в трьох полоїдальних перерізах. Показано існування зв'язку між областю утримання та перехідним шаром. Обговорюється вплив ВЧ-електричного поля антени на зонд

Behaviour of the radiation of the suprathermal electrons at the Uragan-3M torsatron after RF heating off from ECE measurements

The microwave radiometry is a well-known diagnostics to obtain the information on temporal evolution and radial profile of the electron temperature at U-3M torsatron plasma experiments. However, under low plasma density with this diagnostics we report on the large production of runaway electrons after RF heating pulse off. We notice a gradually increasing of the radiometer signal at the frequencies that match the second and third harmonics of electron cyclotron emission of the extraordinary mode. This effect could be explained with the existence of the “runaway” electrons in U-3M discharge. A phenomenological description of this process is presented, where the time evolution of the ECE radiation signal is compared to the electron density evolution.Микроволновая радиометрия является хорошо известной диагностикой для получения информации о временной эволюции и виде радиального профиля температуры электронов во время плазменных экспериментов на торсатроне У-3М. Тем не менее, в случае низкоплотной плазмы при помощи этой диагностики наблюдается появление значительного числа «убегающих» электронов после отключения импульса высокочастотного нагрева. Замечено постепенное увеличение сигнала радиометра на частотах, которые соответствуют второй и третьей гармоникам электронной циклотронной эмиссии необыкновенной волны. Этот эффект можно объяснить существованием «убегающих» электронов в разряде У-3М. Представлено феноменологическое описание этого процесса, где временная эволюция сигнала излучения ECE сравнивается с эволюцией плотности электронов.Мікрохвильова радіометрія є добре відомою діагностикою, для отримання інформації про тимчасову еволюцію та вигляд радіального профілю температури електронів під час плазмових експериментів на торсатроні У-3М. Тим не менш, у випадку низькощільної плазми за допомогою цієї діагностики спостерігається поява значного числа «тікаючих» електронів після відключення імпульсу високочастотного нагріву. Помічено поступове збільшення сигналу радіометра на частотах, які відповідають другій і третій гармонікам електронної циклотронної емісії незвичайної хвилі. Цей ефект можна пояснити існуванням «тікаючих» електронів у розряді У-3М. Представлено феноменологічний опис цього процесу, де тимчасова еволюція сигналу випромінювання ECE порівнюється з еволюцією щільності електронів