Παραμετρική επισκόπηση του Συνόλου Ανάδρασης Κορυφών

Στην παρούσα εργασία μελετώνται πυρήνες και παραμετρικοί αλγόριθμοι για το πρόβλημα Σύνολο Ανάδρασης Κορυφών τόσο για κατευθυνόμενα όσο και για μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Στο πρόβλημα αυτό σκοπός μας είναι η διαγραφή το πολύ k κορυφών ενός γραφήματος G ώστε το γράφημα που θα προκύψει να είναι άκυκλο. Το πρόβλημα αυτό είναι NP-Hard, οπότε η έρευνα έχει στραφεί σε εναλλακτικούς τρόπους για την επίλυσή του (προσεγγιστικοί αλγόριθμοι, ευριστικές μέθοδοι, κ.ά.). Ένας από τους τρόπους αυτούς είναι με παραμετρικούς αλγόριθμους, στους οποίους επικεντρώνεται η παρούσα εργασία. Στα μη κατευθυνόμενα γραφήματα υπάρχει πυρήνας μεγέθους O(k^2) για την γενική περίπτωση. Στα κατευθυνόμενα γραφήματα είναι ανοιχτό πρόβλημα η ύπαρξη πυρήνα πολυωνυμικού μεγέθους για την γενική περίπτωση, ωστόσο στην παρούσα εργασία μελετάται η περίπτωση που η παράμετρος στο πρόβλημά μας είναι το Σύνολο Ανάδρασης Κορυφών για το αντίστοιχο μη κατευθυνόμενο γραφήμα, που έχει πυρήνα μεγέθους O(k^4). Όσον αφορά τους αλγόριθμους για τα μη κατευθυνόμενα γραφήματα, κυρίως χρησιμοποιούνται συνδυαστικά επιχειρήματα για την εύρεση της πολυπλοκότητάς τους, ενώ σε μια περίπτωση χρησιμοποιήκε πρόγραμμα σε Python για κάποιους υπολογισμούς. Για τα κατευθυνόμενα γραφήματα, χρησιμοποιούνται εργαλεία της θεωρίας γραφημάτων όπως οι τομές και οι διαχωριστές ενώ χρησιμοποιούνται και κάποιες πιο αφηρημένες δομές που ονομάζονται ε-δομές για την εύρεση συνόλου ανάδρασης. Η πολυπλοκότητα των αλγορίθμων αυτών προκύπτει πάλι με συνδυαστικά επιχειρήματα. Το Σύνολο Ανάδρασης Κορυφών είναι ένα εκτενώς μελετημένο πρόβλημα στην Παραμετρική Πολυπλοκότητα με πληθώρα εφαρμογών στα Λειτουργικά Συστήματα, στην κατασκευή κυκλωμάτων VLSI αλλά και στην εύρεση γονιδίων που ευθύνονται για τον καρκίνο και ανήκει σε μια μεγαλύτερη κατηγορία προβλημάτων που αφορούν Σύνολα Ανάδρασης. Παρόμοιο πρόβλημα είναι το Σύνολο Ανάδρασης Τόξων το οποίο επίσης λύνεται με τους αλγόριθμους για το Σύνολο Ανάδρασης Κορυφών. Ο αναγνώστης αναμένεται να είναι εξοικειωμένος με βασικές έννοιες θεωρίας γραφημάτων, αλγορίθμων, υπολογιστικής και παραμετρικής πολυπλοκότητας.On this thesis we study kernels and parameterized algorithms for the Feedback Vertex Set problem for directed and undirected graphs. In this problem we want to delete at most k vertices from a graph G to make it acyclic. This problem is NP-Hard, so the research is focused on alternative ways of solving the problem (e.g. approximation algorithms, heuristics, etc.). Another way is via parameterized algorithms, and this is the scope of this thesis. On undirected graphs there is a kernel of size O(k^2) for a general instance. On directed graphs the existence of a polynomial kernel for general instances is an open problem. On this thesis we study the case when the problem is parameterized by the Feedback Vertex Set of the corresponding undirected graph, which has kernel of size O(k^4). The algorithms for the undirected graphs make use of combinatorial arguments to find their complexity, and there is a case which used a Python program to find the complexity of the algorithm. For directed graphs, the algorithms make use of tools from graph theory (e.g. cuts, separators) and in some cases they use some more abstract stuctures, such as ε-structures. The complexity of the algorithms for the directed feedback vertex set is based again on combinatorial arguments. The Feedback Vertex Set is a well studied problem in Parameterized Complexity with many applications on Operational Systems, VLSI design and in the search of genes that cause cancer and it belongs to a bigger class of problems that searches for Feedback Sets. Similar is the Feedback Art Set problem which we can also solve with the algorithms for the Feedback Vertex Set. The reader should be familiar with basic notions of graph theory, algorithms, computational and parameterized complexity