Algebras Determined by Their Supports

In this paper, we introduce and study a class of algebras which we call ada algebras. An artin algebra is ada if every indecomposable projective and every indecomposable injective module lies in the union of the left and the right parts of the module category. We describe the Auslander-Reiten components of an ada algebra, showing in particular that its representation theory is entirely contained in that of its left and right supports, which are both tilted algebras. Also, we prove that an ada algebra over an algebraically closed field is simply connected if and only if its first Hochschild cohomology group vanishes

A note on the convexity number for complementary prisms

In the geodetic convexity, a set of vertices $S$ of a graph $G$ is $\textit{convex}$ if all vertices belonging to any shortest path between two vertices of $S$ lie in $S$. The cardinality $con(G)$ of a maximum proper convex set $S$ of $G$ is the $\textit{convexity number}$ of $G$. The $\textit{complementary prism}$ $G\overline{G}$ of a graph $G$ arises from the disjoint union of the graph $G$ and $\overline{G}$ by adding the edges of a perfect matching between the corresponding vertices of $G$ and $\overline{G}$. In this work, we we prove that the decision problem related to the convexity number is NP-complete even restricted to complementary prisms, we determine $con(G\overline{G})$ when $G$ is disconnected or $G$ is a cograph, and we present a lower bound when $diam(G) \neq 3$.Comment: 10 pages, 2 figure

Modules complètement coséparants et modules complètement séparants sur les algèbres héréditaires dociles

Les algèbres fortement simplement connexes jouent un rôle important dans la théorie des représentations des algèbres. Il est donc utile de pouvoir construire les algèbres de ce type. On donne un tel résultat pour une classe particulière d'algèbres. La notion d'algèbre fortement simplement connexe a été introduite par SKOWRONSKI [14]. Nous voulons classifier les extensions et les coextensions ponctuelles fortement simplement connexes d'une classe d'algèbres incluant les algèbres héréditaires dociles. Pour ce faire, il suffit de classifier les modules complètement coséparants et les modules complètement séparants, car par ASSEM et LIU [3], une extension (ou coextension) ponctuelle d'une algèbre A par un A-module M est fortement simplement connexe si et seulement si A est fortement simplement connexe et M est un A-module complètement coséparant (ou complètement séparant, respectivement). Même si la plupart des notions importantes sont rappelées, le lecteur doit avoir des connaissances de base dans la théorie des représentations des algèbres associatives et des connaissances générales en algèbre. Un rappel de toutes les notions nécessaires aurait trop alourdi le texte et en aurait dilué le contenu. Nous nous en sommes donc tenus aux notions essentielles en admettant certains faits secondaires