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Dynamics of the symmetric eigenvalue problem with shift strategies
A common algorithm for the computation of eigenvalues of real symmetric
tridiagonal matrices is the iteration of certain special maps called
shifted steps. Such maps preserve spectrum and a natural common domain is
, the manifold of real symmetric tridiagonal matrices
conjugate to the diagonal matrix . More precisely, a (generic) shift
s \in \RR defines a map . A
strategy \sigma: {\cal T}_\Lambda \to \RR specifies the shift to be applied
at so that . Good shift strategies should
lead to fast deflation: some off-diagonal coordinate tends to zero, allowing
for reducing of the problem to submatrices. For topological reasons, continuous
shift strategies do not obtain fast deflation; many standard strategies are
indeed discontinuous. Practical implementation only gives rise systematically
to bottom deflation, convergence to zero of the lowest off-diagonal entry
. For most shift strategies, convergence to zero of is cubic,
for . The existence of arithmetic
progressions in the spectrum of sometimes implies instead quadratic
convergence, . The complete integrability of the Toda lattice and the
dynamics at non-smooth points are central to our discussion. The text does not
assume knowledge of numerical linear algebra.Comment: 22 pages, 4 figures. This preprint borrows heavily from the
unpublished preprint arXiv:0912.3376 but is adapted for a different audienc
São Paulo, megacidade e redesenvolvimento sustentável: uma estratégia propositiva São Paulo, megacity and sustainable redevelopment: a strategic proposal
O trabalho faz uma reflexão crÃtica acerca da emergência das megacidades no século XXI para, em seguida, focar a megacidade brasileira, São Paulo, seus desafios e oportunidades em busca de uma reinvenção necessária que traga a agenda de um desejável redesenvolvimento sustentável no âmbito urbano. O trabalho conclui apresentando um modelo de redesenvolvimento de um território em transformação, a Diagonal Sul, orla ferroviária paulistana. O projeto urbano estratégico apresentado busca investigar oportunidades de reorganização desse território: como implementar o projeto urbano na nossa maior megacidade? A tese é a do reaproveitamento dos vazios urbanos centrais como contraponto à expansão periférica: adensamento populacional e de atividades onde haja infraestrutura e localização central. Cidade mais compacta é cidade mais sustentável
An atlas for tridiagonal isospectral manifolds
Let be the compact manifold of real symmetric tridiagonal
matrices conjugate to a given diagonal matrix with simple spectrum.
We introduce {\it bidiagonal coordinates}, charts defined on open dense domains
forming an explicit atlas for . In contrast to the standard
inverse variables, consisting of eigenvalues and norming constants, every
matrix in now lies in the interior of some chart domain. We
provide examples of the convenience of these new coordinates for the study of
asymptotics of isospectral dynamics, both for continuous and discrete time.Comment: Fixed typos; 16 pages, 3 figure
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