Recovering a variable exponent

We consider an inverse problem of recovering the non-linearity in the one dimensional variable exponent $p(x)$-Laplace equation from the Dirichlet-to-Neumann map. The variable exponent can be recovered up to the natural obstruction of rearrangements. The main technique is using a M\"untz-Sz\'asz theorem after reducing the problem to determining a function from its $L^p$-norms.Comment: 20 pages, no figure

Variable exponent Calder\'on's problem in one dimension

We consider one-dimensional Calder\'on's problem for the variable exponent $p(\cdot)$-Laplace equation and find out that more can be seen than in the constant exponent case. The problem is to recover an unknown weight (conductivity) in the weighted $p(\cdot)$-Laplace equation from Dirichlet and Neumann data of solutions. We give a constructive and local uniqueness proof for conductivities in $L^\infty$ restricted to the coarsest sigma-algebra that makes the exponent $p(\cdot)$ measurable.Comment: 28 page

Monotonicity and enclosure methods for the p-Laplace equation

We show that the convex hull of a monotone perturbation of a homogeneous background conductivity in the $p$-conductivity equation is determined by knowledge of the nonlinear Dirichlet-Neumann operator. We give two independent proofs, one of which is based on the monotonicity method and the other on the enclosure method. Our results are constructive and require no jump or smoothness properties on the conductivity perturbation or its support.Comment: 18 page

Inverse problems for a model of biofilm growth

A bacterial biofilm is an aggregate of micro-organisms growing fixed onto a solid surface, rather than floating freely in a liquid. Biofilms play a major role in various practical situations such as surgical infections and water treatment. We consider a non-linear PDE model of biofilm growth subject to initial and Dirichlet boundary conditions, and the inverse coefficient problem of recovering the unknown parameters in the model from extra measurements of quantities related to the biofilm and substrate. By addressing and analysing this inverse problem we provide reliable and robust reconstructions of the primary physical quantities of interest represented by the diffusion coefficients of substrate and biofilm, the biomass spreading parameters, the maximum specific consumption and growth rates, the biofilm decay rate and the half saturation constant. We give particular attention to the constant coefficients involved in the leading-part non-linearity, and present a uniqueness proof and some numerical results. In the course of the numerical investigation, we have identified extra data information that enables improving the reconstruction of the eight-parameter set of physical quantities associated to the model of biofilm growth.Comment: 25 pages, 5 figure

Calderón's problem for p-laplace type equations

We investigate a generalization of Calderón’s problem of recovering the conductivity coefficient in a conductivity equation from boundary measurements. As a model equation we consider the p-conductivity equation div σ |∇u|p−2 ∇u = 0 with 1 < p < ∞, which reduces to the standard conductivity equation when p = 2. The thesis consists of results on the direct problem, boundary determination and detecting inclusions. We formulate the equation as a variational problem also when the conductivity σ may be zero or infinity in large sets. As a boundary determination result we recover the first order derivative of a smooth conductivity on the boundary. We use the enclosure method of Ikehata to recover the convex hull of an inclusion of finite conductivity and find an upper bound for the convex hull if the conductivity within an inclusion is zero or infinite

Expected characteristic in Tunnels & Trolls character creation, with generalizations

In the roleplaying game Tunnels & Trolls the characteristics of player characters are determined by rolling dice in the following manner: First, one rolls three dice and calculates their sum. If the three dice all give the same result, another three dice are rolled and added to the total. This is continued until the three dice no longer match. We calculate the average result of the stochastic sum: 10 + 4 / 5. We also consider a generalized dice rolling scheme where we roll an arbitrary number of dice with an arbitrary number of sides. This generalization is motivated by various exotic dice that are used in many roleplaying games. We calculate the expectation, and how much it differs from the situation where we only roll the set of dice once, with no rerolling and adding. As the number of dice increases, or the number of sides the dice have increases, this difference approaches zero, unless there are two dice (with the number of sides increasing), in which case the difference approaches one

A posteriori-virhearvio Uzawan algoritmille Stokesin yhtälön ratkaisemiseksi

Tässä tutkielmassa esitän ensin lyhyesti Sobolevin avaruudet, totean joitakin epäyhtälöitä ja Stokesin yhtälön ajasta riippumattoman, englanniksi stationary, version. Jatkan todistamalla ratkaisun löytymisen Stokesin ongelmaan etsimällä Lagrangen funktion satulapisteen -- tämän todistuksen yksityiskohdat olen tarkastanut itse, vaikka todistus seuraakin hyvin tarkasti S. Repinin kirjasta \cite{repin2008} löytyvää tekstiä. Kappaleessa \ref{aposterioriarvio} kerron lyhyesti a~posteriori-tyylisen virhearvion luonteesta sekä totean erään Stokesin yhtälöä koskevan arvion. Seuraavassa kappaleessa esitän Uzawan algoritmin suoraan Stokesin yhtälöä varten. Viimeisessä kappaleessa esitän vihdoin kaksi a posteriori-tyypin virhearviota Uzawan algoritmin avulla saaduille nopeuskentille. Viimeisen kappaleen laskut ovat suureksi osaksi omiani. Ideat antoi S. Repin. Kirjallisuusviitettä nimenomaan tälle arviolle ei käsittääkseni löydy

Calderón problem for the p-Laplace equation : First order derivative of conductivity on the boundary

We recover the gradient of a scalar conductivity defined on a smooth bounded open set in Rd from the Dirichlet to Neumann map arising from the p-Laplace equation. For any boundary point we recover the gradient using Dirichlet data supported on an arbitrarily small neighbourhood of the boundary point. We use a Rellich-type identity in the proof. Our results are new when p 6 = 2. In the p = 2 case boundary determination plays a role in several methods for recovering the conductivity in the interior.peerReviewe

Hamilton-Jacobi equations

Tämä Pro gradu-tutkielma käsittelee Hamiltonin ja Jacobin yhtälöitä, jotka kuvaavat mekaanisen järjestelmän kehitystä klassisen mekaniikan puitteissa. Hamiltonin ja Jacobin yhtälöitä käytetään myös säätöteoriassa sekä kvanttimekaniikassa. Hamiltonin mekaaniikan kehitti Sir William Rowan Hamilton valon käytöksen mallintamiseen ja Carl Gustav Jacob Jacobi kehitti sitä edelleen. Tutkielmassa annamme ehdot, joiden nojalla Hopfin ja Laxin kaava antaa ratkaisun Hamiltonin ja Jacobin yhtälöihin liittyvään alkuarvo-ongelmaan. Sen jälkeen määritämme sopivan heikon ratkaisun käsitteen ja näytämme heikkojen ratkaisujen olevan yksikäsitteisiä tietyillä ehdoilla. Lähestymme Hamiltonin ja Jacobin alkuarvo-ongelmaa asettamalla variaatio-ongelman, jonka Hopfin ja Laxin kaava ratkaisee. Osoitamme, että Hopfin ja Laxin kaavan antama ratkaisuehdokas on Lipschitz-jatkuva ja toteuttaa dynaamisen ohjelmoinnin periaatteen, joka kytkee sen optimaalisen säädön teoriaan. Sen jälkeen näytämme, että Hopfin ja Laxin kaavan antama funktio todella ratkaisee Hamiltonin ja Jacobin yhtälön alkuarvo-ongelman. Tärkeä työkalu Hopfin ja Laxin kaavan käsittelyssä on Legendren muunnos, joka muuntaa funktion sen konveksiksi duaaliksi. Näytämme, että konvekseille ja tarpeeksi nopeasti kasvaville funktioille Legendren muunnos sovellettuna kahteen kertaan antaa alkuperäisen funktion takaisin. Tutkielmassa tutkitaan Hamiltonin ja Lagrangen funktioita, jotka täyttävät nämä ehdot. Lopuksi määrittelemme, mitä tarkoitamme heikolla ratkaisulla Hamiltonin ja Jacobin yhtälön alkuarvo-ongelmaan. Määritelmässä käytämme semikonkaaveja funktioita. Osoitamme, että alkuehtojen semikonkaavius tai Hamiltonin funktion vahva konveksisuus takaavat heikkojen ratkaisuiden semikonkaaviuden, ja että semikonkaaveja ratkaisuja voi olla vain yksi, kunhan alkuarvo-ongelma täyttää sopivat säännöllisyysehdot