Apprentissage d’intégrales de Sugeno à partir de données inconsistantes

National audienceThe basic setting of this article is multicriteria decision making and preference aggregation. The problem treated is that of learning a Sugeno integral from inconsistent data, where values are elements of a totally ordered set. This is a difficult optimization problem : indeed, a Sugeno integral is determined by 2^n values, with n being the number pf parameters. In this article we propose two learning methods : the first one is an application of simulated annealing, and the second is a new algorithm which relies on the selection of a consistant subset of data and for which the value of n doesn't affect the running time significantly.En prenant pour cadre de référence l'aidè a la décision multi-critères et l'agrégation de préférences, cet article traite de l'apprentissage de l'intégrale de Sugenò a partir de données inconsistantes, et dont les valeurs appartiennent à un ensemble totalement ordonné. Il s'agit d'un problème d'optimisation difficile, puisqu'une intégrale de Sugeno est définie d'après 2^n valeurs, où n est le nombre de paramètres. Dans cet article nous considérons deux méthodes : la premìère est une application du recuit simulé, et la seconde est un nouvel algorithme reposant sur la séléction préalable d'un sous-ensemble de données consistantes, dont le temps d'exécution est peu sensible à la valeur de n

k-maxitive Sugeno integrals as aggregation models for ordinal preferences

International audienceWe consider an order variant of k-additivity, so-called k-maxitivity, and present an axiomatization of the class of k-maxitive Sugeno integrals over distributive lattices. To this goal, we characterize the class of lattice polynomial functions with degree at most k and show that k-maxitive Sugeno integrals coincide exactly with idempotent lattice polynomial functions whose degree is at most k. We also discuss the use of this parametrized notion in preference aggregation and learning. In particular, we address the question of determining optimal values of k through a case study on empirical data

Sugeno Utility Functionals for Monotonic Classication & Decision Rules

International audienc

Interpolation by lattice polynomial functions: a polynomial time algorithm

International audienceThis paper deals with the problem of interpolating partial functions over finite distributive lattices by lattice polynomial functions. More precisely, this problem can be formulated as follows: Given a finite dis-tributive lattice L and a partial function f from D ⊆ L n to L, find all the lattice polynomial functions that interpolate f on D. If the set of lattice polynomials interpolating a function f is not empty, then it has a unique upper bound and a unique lower bound. This paper presents a new description of these bounds and proposes an algorithm for computing them that runs in polynomial time, thus improving existing methods. Furthermore, we present an empirical study on randomly generated datasets that illustrates our theoretical results

From Meaningful Orderings in the Web of Data to Multi-level Pattern Structures

International audienceWe define a pattern structure whose objects are elements of a supporting ontology. In this framework, descriptions constitute trees, made of triples subject-predicate-object, and for which we provide a meaningful similarity operator. The specificity of the descriptions depends on a hy-perparameter corresponding to their depth. This formalism is compatible with ontologies formulated in the language of RDF and RDFS and aims to set up a framework based on pattern structures for knowledge discovery in the web of data

A dimensionality Reduction Approach for Qualitative Preference Aggregation

International audienc

Une approche de réduction de dimensionnalité pour l'agrégation de préférences qualitatives

National audienceNous présentons une méthode de réduction de dimensionnalité pour des données de préférences multicritères lorsque l'espace des évaluations est un treillis distributif borné. Cette méthode vise à réduire la complexité des procédures d'apprentissage d'un modèle d'agrégation sur des données qualita-tives. Ainsi nous considérons comme modèle d'agrégation l'intégrale de Su-geno. L'apprentissage d'un tel modèle à partir de données empiriques est un problème d'optimisation à 2 n paramètres (où n est le nombre de critères consi-dérés). La méthode de réduction que nous proposons s'appuie sur l'observation de certaines relations entre les éléments de ces données, et nous donnons des premiers résultats d'applications

Fonctions latticielles polynomiales pour l’interpolation et la classification monotone

A Lattice Polynomial Function (LPF) over a lattice L is a map p : Ln → L that can be defined by an expression involving variables, constants and the lattice operators ∧ and ∨. If L is a distributive lattice, these maps include the so-called Sugeno integrals that are aggregation functions capable of merging ordinal values, not necessarily numerical. They are widely used in the qualitative approach to Multiple Criteria Decision Aiding (MCDA), and they can be thought of as the ordinal counterparts of Choquet integrals. In the first part of this thesis, we tackle the task of interpolating a partial function by an LPF, stated as follows: for a lattice L, a finite subset D of Ln, and a function f : D → L, return an LPF p : Ln → L such that p(x) = f(x) for all x ∊ D (if such an LPF exists). We treat the cases where L is a finite lattice, and then the cases where L is a bounded distributive lattice. In both cases, we provide algorithms that solve this problem in polynomial time. In the second part, we consider generalizations of Sugeno integrals in the multi-attribute setting, in particular, the Sugeno Utility Functions (SUFs), that are able to merge values coming from different ordinal scales. We consider the their use in monotonic classification tasks. We present a model based on a set of SUFs and an algorithm for learning such model from data. We compare this model to the sets of monotonic decision rules learned by VC-DomLEM, and study the number of SUFs that are required in order to model empirical dataUne Fonction Latticielle Polynômiale (FLP) sur un treillis L est une fonction p : Ln → L, qui peut être exprimée à partir de variables, de constantes et des opérateurs de treillis ∧ et ∨ . Dans les cas où L est distributif et borné, les FLP incluent les intégrales de Sugeno. Celles-ci sont des fonctions d'agrégation qui permettent de fusionner des valeurs sur des échelles ordinales non numériques, et qui sont utilisées notamment dans l'approche qualitative de l'Aide à la Décision Multi Critères en tant qu'alternatives ordinales aux intégrales de Choquet. Dans une première partie, nous traitons la tâche d'interpolation par des FLP, c'est à dire : pour un treillis L, un sous-ensemble fini D de Ln et une fonction f : D → L, retourner une FLP p : Ln → L telle que p(x) = f(x) pour tout x ∊ D (si une telle FLP existe). Nous traitons successivement le cas où L est un treillis fini et le cas où L est une treillis distributif borné. Dans les deux cas, nous donnons des algorithmes qui résolvent ce problème en temps polynomial. Dans une seconde partie, nous abordons les généralisations des intégrales de Sugeno appelées Fonctions d'Utilité de Sugeno (FUS), qui permettent la fusion de valeurs appartenant à des échelles ordinales différentes, ainsi que leur application à la tâche de classification monotone. Nous introduisons un modèle composé de plusieurs FUS, ainsi qu'un algorithme d'apprentissage d'un tel modèle. Nous comparons ce modèle aux ensembles de règles de décision appris par VC-DomLEM, et étudions le nombre de FUS nécessaires afin de modéliser des données empirique

Lattice polynomial functions for interpolation and monotonic classification

Une Fonction Latticielle Polynômiale (FLP) sur un treillis L est une fonction p : Ln → L, qui peut être exprimée à partir de variables, de constantes et des opérateurs de treillis ∧ et ∨ . Dans les cas où L est distributif et borné, les FLP incluent les intégrales de Sugeno. Celles-ci sont des fonctions d'agrégation qui permettent de fusionner des valeurs sur des échelles ordinales non numériques, et qui sont utilisées notamment dans l'approche qualitative de l'Aide à la Décision Multi Critères en tant qu'alternatives ordinales aux intégrales de Choquet. Dans une première partie, nous traitons la tâche d'interpolation par des FLP, c'est à dire : pour un treillis L, un sous-ensemble fini D de Ln et une fonction f : D → L, retourner une FLP p : Ln → L telle que p(x) = f(x) pour tout x ∊ D (si une telle FLP existe). Nous traitons successivement le cas où L est un treillis fini et le cas où L est une treillis distributif borné. Dans les deux cas, nous donnons des algorithmes qui résolvent ce problème en temps polynomial. Dans une seconde partie, nous abordons les généralisations des intégrales de Sugeno appelées Fonctions d'Utilité de Sugeno (FUS), qui permettent la fusion de valeurs appartenant à des échelles ordinales différentes, ainsi que leur application à la tâche de classification monotone. Nous introduisons un modèle composé de plusieurs FUS, ainsi qu'un algorithme d'apprentissage d'un tel modèle. Nous comparons ce modèle aux ensembles de règles de décision appris par VC-DomLEM, et étudions le nombre de FUS nécessaires afin de modéliser des données empiriquesA Lattice Polynomial Function (LPF) over a lattice L is a map p : Ln → L that can be defined by an expression involving variables, constants and the lattice operators ∧ and ∨. If L is a distributive lattice, these maps include the so-called Sugeno integrals that are aggregation functions capable of merging ordinal values, not necessarily numerical. They are widely used in the qualitative approach to Multiple Criteria Decision Aiding (MCDA), and they can be thought of as the ordinal counterparts of Choquet integrals. In the first part of this thesis, we tackle the task of interpolating a partial function by an LPF, stated as follows: for a lattice L, a finite subset D of Ln, and a function f : D → L, return an LPF p : Ln → L such that p(x) = f(x) for all x ∊ D (if such an LPF exists). We treat the cases where L is a finite lattice, and then the cases where L is a bounded distributive lattice. In both cases, we provide algorithms that solve this problem in polynomial time. In the second part, we consider generalizations of Sugeno integrals in the multi-attribute setting, in particular, the Sugeno Utility Functions (SUFs), that are able to merge values coming from different ordinal scales. We consider the their use in monotonic classification tasks. We present a model based on a set of SUFs and an algorithm for learning such model from data. We compare this model to the sets of monotonic decision rules learned by VC-DomLEM, and study the number of SUFs that are required in order to model empirical dat

Axiomatisation des intégrales de Sugeno k-maxitives

International audienceNous considérons la variante latticielle de la notion de k-additivité, appelée k-maxitivité, et nous présentons une axiomatisation de la classe des intégrales de Sugeno k-maxitives définies sur des treillis distributifs. Pour cela, nous caractérisons les polynômes latticiels de degré borné à k et nous utilisons le fait que les intégrales de Sugeno correspondent à des polynômes latticiels idempotents. Nous discutons également des avantages potentiels de cette notion paramétrisée ainsi quelques problèmes de recherche qui restent ouverts