Untangling of trajectories for non-smooth vector fields and Bressan's Compactness Conjecture

In this thesis we investigate some problems related to the uniqueness of solutions to the transport and continuity equations in the non-smooth framework

A uniqueness result for the decomposition of vector fields in Rd

Given a vector field \u3c1(1,b) 08Lloc1(R+ 7Rd,Rd+1) such that divt,x(\u3c1(1,b)) is a measure, we consider the problem of uniqueness of the representation \u3b7 of \u3c1(1 , b) Ld+1 as a superposition of characteristics \u3b3:(t\u3b3-,t\u3b3+)\u2192Rd, \u3b3\u2d9 (t) = b(t, \u3b3(t)). We give conditions in terms of a local structure of the representation \u3b7 on suitable sets in order to prove that there is a partition of Rd+1 into disjoint trajectories \u2118a, a 08 A, such that the PDE divt,x(u\u3c1(1,b)) 08M(Rd+1),u 08L 1e(R+ 7Rd),can be disintegrated into a family of ODEs along \u2118a with measure r.h.s. The decomposition \u2118a is essentially unique. We finally show that b 08Lt1(BVx)loc satisfies this local structural assumption and this yields, in particular, the renormalization property for nearly incompressible BV vector fields

FORWARD UNTANGLING AND APPLICATIONS TO THE UNIQUENESS PROBLEM FOR THE CONTINUITY EQUATION

We introduce the notion of forward untangled Lagrangian representation of a measure-divergence vector-measure rho(1, b), where rho is an element of M+(Rd+1) and b : Rd+1 -> R-d is a rho-integrable vector field with div(t,x)(rho(1, b)) = mu is an element of M(R x R-d): forward untangling formalizes the notion of forward uniqueness in the language of Lagrangian representations. We identify local conditions for a Lagrangian representation to be forward untangled, and we show how to derive global forward untangling from such local assumptions. We then show how to reduce the PDE div(t,x)(rho(1, b)) = mu on a partition of R+ x R-d obtained concatenating the curves seen by the Lagrangian representation. As an application, we recover known well posedeness results for the flow of monotone vector fields and for the associated continuity equation

A Bourgain-Brezis-Mironescu representation for functions with bounded deformation

We establish a difference quotient integral representation for symmetric gradient semi-norms in $W^{1,p}(\Omega)$, $LD(\Omega)$ and $BD(\Omega)$. The representation, which is inspired by the formulas for the $W^{1,p}(\Omega)$ semi-norm introduced by Bourgain, Brezis and Mironescu and for the total variation semi-norm of $BV(\Omega)$ by Davila, provides a criterion for the $L^p$ and total-variation boundedness of symmetric gradients that does not require the understanding of distributional derivatives.Comment: 21 page

A regularity result for the Fokker-Planck equation with non-smooth drift and diffusion

The goal of this paper is to study weak solutions of the Fokker-Planck equation. We first discuss existence and uniqueness of weak solutions in an irregular context, providing a unified treatment of the available literature along with some extensions. Then, we prove a regularity result for distributional solutions under suitable integrability assumptions, relying on a new, simple commutator estimate in the spirit of DiPerna-Lions' theory of renormalized solutions for the transport equation. Our result is somehow transverse to Theorem 4.3 of [15]: on the diffusion matrix we relax the assumption of Lipschitz regularity in time at the price of assuming Sobolev regularity in space, and we prove the regularity (and hence the uniqueness) of distributional solutions to the Fokker-Planck equation

Doble vía : El aporte de la Planificación Estratégica Situacional a la extensión estatutaria de la UNLP

El propósito de este trabajo es analizar los alcances y dimensiones de la doble vía estatutaria que integra la definición de extensión de la UNLP, presentar los aportes de la planificación estratégica situacional como marco teórico y metodológico que favorece y fortalece el proceso que el articulo 17 promueve. Se trata de un análisis en base a la realización de entrevistas y consultas a funcionarios que participaron en el diseño e implementación de las políticas de extensión de los últimos veinte años, la revisión de fuentes secundarias entre las que se encuentran los documentos del Plan Estratégico de la UNLP, los dictámenes de la Comisión de Extensión del Honorable Consejo Superior (HCS), los documentos de distribución presupuestaria de todo el periodo y la construcción de series estadísticas en base a documentos institucionales. Centra su foco de interés en el proceso de diseño e implementación de las Convocatorias Ordinaria y Específica de proyectos de extensión en base a información que integra el desarrollo de la política de la Presidencia de la UNLP, la Comisión de Extensión del Honorable Consejo Superior y en las 17 facultades. En este sentido contempla la voz de al menos un representante de cada uno de los cuatro estados estatutarios (docentes, no docentes, estudiantes y graduados) y de los consejeros superiores y/o secretarios de extensión de la totalidad de unidades académicas. La propuesta se encuentra comprendida en un tipo de indagación que hemos denominado Investigación-Gestión (I+G) que pretende producir conocimiento científico en una temporalidad que permita la toma de decisiones argumentada en procesos de gestión de política pública que están ocurriendo. Se presenta en ocho capítulos que permiten al lector conocer, en el trascurso del primer capítulo, el marco teórico que sustenta lo trabajado y la estrategia metodológica utilizada. El segundo capítulo organiza un análisis de la extensión a partir de dos fuentes secundarias de información: el plan estratégico de la universidad haciendo foco en la estrategia 3 que es la que desarrolla esa política tomando los documentos producidos por la UNLP desde el año 2004 en el que se formula la primera versión, hasta el 2018. La segunda parte del mismo capítulo presenta un análisis de las distribuciones presupuestarias realizadas por el Honorable Consejo Superior de la UNLP, identificando a partir de la revisión de las resoluciones producidas, los montos y clasificadores presupuestarios utilizados a lo largo de los veinte años analizados. El capítulo III realiza una indagación sistemática y presenta un conjunto de reflexiones sobre las convocatorias Ordinaria y Especifica a proyectos de extensión, desde la revisión de la totalidad de dictámenes producidos por las distintas comisiones de extensión del Honorable Consejo Superior en los últimos veinte años, una revisión normativa de los documentos institucionales aprobados y un análisis del presupuesto con relación a montos, criterios de distribución y decisiones institucionales que fueron impactando en el diseño e implementación de ambas convocatorias. Por último, cierra el capítulo el análisis de fortalezas y debilidades identificadas por secretarios/as de extensión de distintas facultades consultados ad hoc. El capítulo IV presenta el análisis de la totalidad de Secretarios y Prosecretarios que tuvieron a su cargo las estructuras organizativas responsables de la política de extensión y en ese marco de la gestión de ambas convocatorias en el periodo 1998-2018 en el caso de la Ordinaria y 2013-2018 en el caso de la Especifica. El capítulo V sistematiza reflexiones de consejeros superiores entrevistados en el marco de la tesis, material que permite reconstruir el proceso de diseño e implementación de la política de extensión desde la voz de aquellos que debatieron y propusieron la aprobación de la normativa vigente sobre esta función de la UNLP. El capítulo VI establece el registro sobre ambas convocatorias de un conjunto de funcionarios con responsabilidad en la implementación de las convocatorias en el periodo 1998-2018. En primer lugar se trata de las reflexiones de secretarios de extensión de facultad, en el segundo caso de las directoras responsables de la gestión de las dos convocatorias en el periodo analizado. En tercer lugar se presentan las reflexiones de la totalidad de secretarias/o que fueron responsables en la Facultad de Trabajo Social de llevar adelante la política de extensión durante el periodo relevado. Por último, el capítulo VIII presenta una serie de conclusiones y recomendaciones que puedan constituirse como insumo de procesos de decisiones sobre las políticas de extensión en los años venideros a partir de recuperar la historia reciente de la UNLP sobre el tema.Facultad de Trabajo Social (FTS

Weak and parabolic solutions of advection-diffusion equations with rough velocity field

We study the Cauchy problem for the advection-diffusion equation $\partial_t u + \mathrm{div} (u b ) = \Delta u$ associated with a merely integrable divergence-free vector field $b$ defined on the torus. We discuss existence, regularity and uniqueness results for distributional and parabolic solutions, in different regimes of integrability both for the vector field and for the initial datum. We offer an up-to-date picture of the available results scattered in the literature, and we include some original proofs. We also propose some open problems, motivated by very recent results which show ill-posedness of the equation in certain regimes of integrability via convex integration schemes