Long-time behaviour of discretizations of the simple pendulum equation

We compare the performance of several discretizations of the simple pendulum equation in a series of numerical experiments. The stress is put on the long-time behaviour. We choose for the comparison numerical schemes which preserve the qualitative features of solutions (like periodicity). All these schemes are either symplectic maps or integrable (preserving the energy integral) maps, or both. We describe and explain systematic errors (produced by any method) in numerical computations of the period and the amplitude of oscillations. We propose a new numerical scheme which is a modification of the discrete gradient method. This discretization preserves (almost exactly) the period of small oscillations for any time step.Comment: 41 pages, including 18 figures and 4 table

Discretization of selected physical models: from standard approach to geometric integrators

Wydział FizykiPrzedmiotem badań pracy są dyskretyzacje wybranych modeli fizycznych, które w większości są jednowymiarowymi układami hamiltonowskimi. , gdzie V(x) jest potencjałem, a kropka i prim oznaczają odpowiednio różniczkowanie po t i po x. Konstruowanie dyskretnych schematów numerycznych symulujących tego typu modele ciągłe jest blisko związane z numerycznym całkowaniem równań różniczkowych zwyczajnych. W naszej pracy koncentrowaliśmy się przede wszystkim na metodach zachowujących pewne fizyczne lub matematyczne własności układów (np. strukturę symplektyczną, całki pierwsze, symetrie itp.). Fizyczne zastosowania takich metod są najrozmaitsze, od akceleratorów cząstek poczynając, poprzez dynamikę molekularną, mechanikę kwantową, mechanikę nieba do układów z wieloma skalami czasowymi. W początkowej części pracy skupiliśmy się na standardowych metodach numerycznych z naciskiem na prawidłowe odtwarzanie jakościowych i geometrycznych własności równań. Przetestowano szereg metod pod względem ich zachowania jakościowego i ilościowego dla krótkich i długich okresów czasu. Wykonano szereg eksperymentów numerycznych porównując standardowe (symplektyczne: leap-frog, metodę Eulera, implicit midpoint; niesymplektyczne: metody rzutowane i Rungego-Kutty) oraz geometryczne (Surisa i dyskretnego gradientu) metody numeryczne na przykładzie równania wahadła matematycznego. Najważniejsza część pracy koncentruje się na rozwinięciu i ulepszeniu metody dyskretnego gradientu. Pewna modyfikacja tej metody (bardzo dokładna dla małych oscylacji) została zaproponowana już w początkowej części pracy. W następnych rozdziałach udało się rozwinąć inne (znacznie lepsze) modyfikacje schematu dyskretnego gradientu. Pierwszą z nich jest tzw. metoda lokalnie dokładnego dyskretnego gradientu i jej symetryczna modyfikacja (odpowiednio trzeciego i czwartego rzędu). Metody te zostały z powodzeniem przetestowane numerycznie na kilku modelach fizycznych: wahadle matematycznym, potencjale Morse’a, oscylatorze anharmonicznym, dwuwymiarowym modelu Lotki-Volterry. Zaproponowane integratory mają ważne zalety: dokładne zachowywanie energii, wysoki rząd, wysoką stabilność i dokładność (lepszą o kilka-kilkanaście rzędów wielkości od standardowej metody dyskretnego gradientu). Drugą modyfikacją było skonstruowanie schematów gradientowych dowolnego rzędu bez utraty doskonałych własności jakościowych dyskretnego gradientu. Okazało się, że nowe metody są ekstremalnie dokładne (zwłaszcza dla dużych kroków czasowych) i tylko dwukrotnie bardziej kosztowne (w sensie numerycznym, dla metody 11-go rzędu) niż standardowy dyskretny gradient. Trzeci wątek, obecny w wielu miejscach tej pracy, dotyczy istnienia dokładnych dyskretyzacji wybranych modeli fizycznych. Dokładny schemat numeryczny musi pokrywać się z rozwiązaniem ciągłym układu hamiltonowskiego przy dowolnym kroku czasowym. Istnienie takiej dyskretyzacji wydaje się zjawiskiem wyjątkowym. Mimo to, udało się wyprowadzić dokładne dyskretyzacje oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Pierwsza z nich jest bardzo ważna, gdyż została wykorzystana do wyprowadzenia metody lokalnie dokładnego dyskretnego gradientu oraz skonstruowania dokładnej dyskretyzacji jednowymiarowego równania falowego. Prezentujemy również dwa dokładne integratory klasycznego problemu Keplera. Pierwszy z nich, pierwotnie zaprezentowany przez Cieślińskiego, został ulepszony, aby zachowywał dokładnie orbity teoretyczne. Drugi, znaleziony przez Kozlova, został wyprowadzony w nowy, praktycznie elementarny sposób. Dyskretyzacja Kozlova używa zaawansowanej transformacji Kustaanheimo-Stiefela odwzorowującej trójwymiarowy model Keplera w czterowymiarowy, izotropowy oscylator harmoniczny. Istotną częścią pracy są liczne eksperymenty numeryczne, które wymagały czasem sięgania do zaawansowanych metod. Wybrane aspekty tych obliczeń prezentowane są w ostatnim rozdziale pracy.The subject of our investigations is discretization of some physical models which are mostly one-dimensional hamiltonian systems , where V(x) is a potential, and the dot and the prime denote differentiation with respect to t and x respectively. Constructing discrete schemes simulating such continuous physical models is close connected to numerical integration of ordinary diferential equations. In our work we concentrate mainly on geometric methods that preserve some physical or mathematical properties of the system (i. e. symplectic structure, first integrals, symmetries etc.). Physical applications of such methods are ubiquitous, varying from particle accelerators, molecular dynamics, quantum mechanics, celestial mechanics to systems with multiple time scales. Initial part of presented work concentrate on standard numeric methods, with emphasis on correct reproducing qualitative and geometric properties of equations. Several methods were tested with respect to their qualitative and quantitative behaviour for short and very long periods of time. We perform a series of numerical experiments comparing performance of stardard (symplectic: leap-frog, Euler, implicit midpoint; nonsymplectic: projection and Runge-Kutta) and geometric (Suris and disctrete gradient) methods on the example of the simple pendulum equation. The most important part of presented work is concentrated on developing and improving of discrete gradient methods. The first modyfication of this method (very accurate for small oscillations), was proposed already in mentioned initial part of dissertation. In next chapters we developed another (and more powerful) modyfications of the discrete gradient scheme. The first one was the locally exact discrete gradient method and its symmetric modyfication (third and fourth order respectively). The methods was successfully (numerically) tested on number of physical models: simple pendulum, Morse potential, anharmonic oscillator, two dimensional Lotka-Volterra model. The proposed numerical integrators have important advantages: exact conservation of energy integral, high order, high stability and accuracy (better by several orders of magnitude as compared with standard discrete gradient method). The second one was constructing gradient schemes of any order without the loss of excellent qualitative properties of the gradient method. It turned out that the new schemes are extremely exact (especially for big time steps) and only two times more expensive (in numerical sense, for method of eleventh order) than standard discrete gradient method. The third thread, present in many places of presented study, concern existence of the exact discretizations of selected physical models. Exact numerical scheme have to coincide with the continous solution of considered hamiltonian system for any value of time step. The existence of a discretization of this kind seems to be an exceptional phenomenon. Neverthlesess we derived exact discretizations of classical harmonic oscillator and anharmonic oscillator. The first one is very important because we use it for deriving locally exact discrete gradient method and to construct exact discretization for one-dimentional wave equation. We present also two exact integrators of the classical Kepler problem. The first one originally presented by Cieśliński was improved to preserve exactly theoretical orbits. The second one found by Kozlov was derived in a new simple elementary way. Kozlov discretization use advanced Kustaanheimo-Stiefel transformation to map three dimensional Kepler motion into four-dimensional isotropic harmonic oscillator. The essential part of this work were numerous very exact numerical experiments. It demands sometimes to apply of advanced numerical methods. Some aspect of this calculations were presented in the last chapter of this dissertation