Pursuit-Evasion Games and Zero-sum Two-person Differential Games

International audienceDifferential games arose from the investigation, by Rufus Isaacs in the 50's, of pursuit-evasion problems. In these problems, closed-loop strategies are of the essence, although defining what is exactly meant by this phrase, and what is the Value of a differential game, is difficult. For closed-loop strategies, there is no such thing as a " two-sided Maximum Principle " , and one must resort to the analysis of Isaacs' equation, a Hamilton Jacobi equation. The concept of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations has helped solve several of these issues

Les oscillateurs non linéaires et le diagramme de Nyquist

Ce travail a pour but la recherche de lois générales permettant l'étude de systèmes oscillants régis par des équations non linéaires. Les méthodes employées permettent d'établir rapidement et clairement tous les résultats classiques obtenus plus laborieusement par les méthodes traditionnelles, en particulier ceux relatifs à l'équation de van der Pol. Nous commençons par rappeler les approximations linéaires classiques et la méthode de Nyquist sous sa forme originale, valables seulement lorsque les oscillations s'amorcent. L'évolution du système est ensuite analysée entre l'amorçage et le régime permanent grâce à une généralisation de la méthode de Nyquist s'étendant au cas d'oscillateurs à loi non linéaire. L'étude, faite sur des modèles simples (l'oscillateur de van der Pol est pris pour type), permet de déterminer : 1° La valeur de l'amplitude et de la pulsation en régime stabilisé; 2° Le temps de réaction à une petite perturbation; 3° La stabilité de fréquence; 4° La plage de synchronisation. La portée plus générale des résultats est cependant soulignée

Adaptation générale de la méthode du diagramme de Nyquist dans le domaine non linéaire

On généralise la méthode du diagramme de Nyquist mobile déjà exposée (1) sur des exemples simples. , L'étude précédente est adaptée au cas d'un oscillateur régi par une équation différentielle non linéaire d'un ordre quelconque et l'on détermine à nouveau ses principales caractéristiques : Loi d'évolution vers un régime stabilisé; Temps de réaction à une petite perturbation; Stabilité de fréquence; Largeur de la plage de synchronisation. Revenant ensuite aux conditions pour lesquelles la loi d'oscillation est sensiblement linéaire, on est amené à modifier légèrement la représentation classique du diagramme de Nyquist. Cela fait mieux apparaître la continuité des propriétés physiques de l'oscillateur dans le passage de l'amorçage à la stabilisation, et permet de traiter ce premier cas comme une approximation linéaire du cas général