Підхід до синтезу аперіодичної робастної системи автоматичного керування на основі градієнтно-швидкісного методу вектор-функцій Ляпунова

One of the actual problems for the theory and practice of control of dynamic objects is the development of methods for research and synthesis of control systems of multidimensional objects. The paper proposes a universal approach to construct Lyapunov vector functions directly from the equation of state of control system and a new gradient-speed method of Lyapunov vector functions to study aperiodic robust stability of linear control system with m inputs and n outputs. The study of aperiodic robust stability of automatic control systems is based on the construction of Lyapunov vector functions and gradient-speed dynamic control systems. The basic statements of Lyapunov's theorem about asymptotic stability and notions of stability of dynamic systems are used. The representation of control systems as gradient systems and Lyapunov functions as potential functions of gradient systems from the catastrophe theory allow to construct the full-time derivative of Lyapunov vector functions always as a sign-negative function equal to the scalar product of the velocity vector on the gradient vector. The conditions of aperiodic robust stability are obtained as a system of inequalities on the uncertain parameters of the automatic control system, which are a condition for the existence of the Lyapunov vector-function.  A numerical example of synthesis of aperiodic robustness of a multidimensional control object is given. The example shows the main stages of the developed synthesis method, the study of the system stability at different values of the coefficients k, confirming the consistency of the proposed method. Transients in the system satisfy all requirementsОднією з актуальних проблем теорії та практики керування динамічними об’єктами є розробка методів дослідження та синтезу систем керування багатовимірними об’єктами. У статті запропоновано універсальний підхід до побудови вектор-функцій Ляпунова безпосередньо з рівняння стану системи керування та новий градієнтно-швидкісний метод вектор-функцій Ляпунова для дослідження аперіодичної робастної стійкості лінійної системи керування з m входами та n виходами. Дослідження аперіодичної робастної стійкості систем автоматичного керування базується на побудові вектор-функцій Ляпунова та градієнтно-швидкісних систем динамічного керування. Використано основні положення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість та поняття стійкості динамічних систем. Представлення систем керування як градієнтних систем і функцій Ляпунова, як потенційних функцій градієнтних систем з теорії катастроф, дозволяє побудувати повну похідну векторних функцій Ляпунова завжди як знаконегативну функцію, що дорівнює скалярному добутку вектора швидкості на вектор градієнта. Отримано умови аперіодичної робастної стійкості як систему нерівностей щодо невизначених параметрів системи автоматичного керування, які є умовою існування вектор-функції Ляпунова. Наведено числовий приклад синтезу аперіодичної стійкості багатовимірного об'єкта керування. На прикладі показано основні етапи розробленого методу синтезу, дослідження стійкості системи при різних значеннях коефіцієнтів k, що підтверджує постійність запропонованого методу. Перехідні процеси в системі задовольняють усім вимога