Generalization of n-ary Nambu algebras and beyond

The aim of this paper is to introduce $n$-ary Hom-algebra structures generalizing the $n$-ary algebras of Lie type enclosing $n$-ary Nambu algebras, $n$-ary Nambu-Lie algebras, $n$-ary Lie algebras, and $n$-ary algebras of associative type enclosing $n$-ary totally associative and $n$-ary partially associative algebras. Also, we provide a way to construct examples starting from an $n$-ary algebra and an $n$-ary algebras endomorphism. Several examples could be derived using this process

On n-ary Hom-Nambu and Hom-Nambu-Lie algebras

It is observed that the category of n-ary Hom-Nambu(-Lie) algebras is closed under twisting by self-weak morphisms. Constructions of ternary Hom-Nambu algebras from Hom-associative algebras, Hom-Lie algebras, ternary totally Hom-associative algebras, and Hom-Jordan triple systems are given. Every multiplicative n-ary Hom-Nambu algebra gives rise to a sequence of Hom-Nambu algebras of exponentially higher arities. Under some conditions, an n-ary Hom-Nambu(-Lie) algebra gives rise to an (n-1)-ary Hom-Nambu(-Lie) algebra.Comment: 23 page

Ternary q-Virasoro-Witt Hom-Nambu-Lie algebras

In this paper we construct ternary $q$-Virasoro-Witt algebras which $q$-deform the ternary Virasoro-Witt algebras constructed by Curtright, Fairlie and Zachos using $su(1,1)$ enveloping algebra techniques. The ternary Virasoro-Witt algebras constructed by Curtright, Fairlie and Zachos depend on a parameter and are not Nambu-Lie algebras for all but finitely many values of this parameter. For the parameter values for which the ternary Virasoro-Witt algebras are Nambu-Lie, the corresponding ternary $q$-Virasoro-Witt algebras constructed in this article are also Hom-Nambu-Lie because they are obtained from the ternary Nambu-Lie algebras using the composition method. For other parameter values this composition method does not yield Hom-Nambu Lie algebra structure for $q$-Virasoro-Witt algebras. We show however, using a different construction, that the ternary Virasoro-Witt algebras of Curtright, Fairlie and Zachos, as well as the general ternary $q$-Virasoro-Witt algebras we construct, carry a structure of ternary Hom-Nambu-Lie algebra for all values of the involved parameters

On Deformations of n-Lie algebras

The aim of this paper is to review the deformation theory of $n$-Lie algebras. We summarize the 1-parameter formal deformation theory and provide a generalized approach using any unital commutative associative algebra as a deformation base. Moreover, we discuss degenerations and quantization of $n$-Lie algebras.Comment: Proceeding of the conference Dakar's Workshop in honor of Pr Amin Kaidi. arXiv admin note: text overlap with arXiv:hep-th/9602016 by other author

Classification et déformations des algèbres ternaires

L'objectif de ce travail de thèse est d'étudier certaines structures d'algèbres ternaires qui sont des applications linéaires de V®V®V dans V et qui apparaissent dans divers domaines des mathématiques et de la physique, ainsi qu'en l'informatique. En effet, en physique théorique, les progrès de la mécanique quantique et la découverte de la mécanique de Nambu, ainsi que les travaux de S-Okubo ont donn'e l'impulsion à un développement important dans la th'eorie des algèbres ternaires. Les matrices cubiques introduites par Cayley en 1840, puis redécouverte et généralisée par Kapranov, Gelfand et Zelevinskii en 1990 illustrent également les algèbres ternaires, ou encore l'algèbre des nonions de Sylvester qui est un analogue des quaternions de Hamilton. Dans ce travail de thèse, on distingue deux grandes classes d'algèbres ternaires, les algèbres ternaires de type associatif et les algèbres ternaires de type Lie. Dans un premier temps on a donné des généralités et des propriétés des algèbres ternaires illustrées par des exemples. Puis, nous avons porté notre intérêt sur les variétés algébriques des algèbres ternaires et établi des classifications à isomorphisme près en petites dimensions. Nous avons par ailleurs donné quelques classes d'algèbres ternaires Z3-graduées en dimension trois. Nous avons calculé les groupes des automorphismes des algèbres ternaires partiellement et totalement associatives. Nous avons étudié la cohomologie des algèbres ternaires partiellement associatives. L'objectif étant de décrire des cohomologies adaptées à la théorie des déformations formelles. Nous avons établi la 1-cohomologie et la 2-cohomologie et montrer l'impossibilité de les étendre, ce qui implique que l'opérade des algèbres ternaires partiellement associatives n'est pas de Koszul. Nous avons montré que le procédé de Takhtajan, qui permet de construire une cohomologie pour les algèbres de Nambu-Lie, n'est pas valable pour les algèbres de type associatif. Par ailleurs, pour les algèbres ternaires totalement associatives faibles, nous avons complété les deux premiers opérateurs cobords donnés par Takhtajan pour obtenir un complexe pour ces algèbres ternaires. Une théorie des déformations formelles et de dégénération a été développé dans cette thèse pour les algèbres ternaires de type associatif, et en particulier pour les algèbres ternaires partiellement associatives.The thesis is dedicated to ternary algebraic structures appearing more or less naturally in various domains of theoretical and mathematical physics and data processing. Indeed, theoretical physics progress of quantum mechanics and the discovery of the Nambu mechanics (1973), as well as a work of S. Okubo gave impulse to a significant development on ternary algebras. The cubic matrices illustrates ternary algebras, they were first introduced by Cayley in 1840, then found again and generalized by Kapranov, Gelfand and Zelevinskii in 1990. The ternary operation gives rise to partially associative, totally associative or Lie ternary algebras, one direction of my work is devoted to classification up to isomorphism of ternary algebras in small dimensions. We studied the cohomologies of ternary algebras of associative type. We build 1-cohomology and 2-cohomology of partially associative ternary algebras and shown that it is impossible to extend them to a general cohomology adapted to deformation theory. As a consequence the operad of partially associative ternary algebras is not Koszul. However, we studied Takhtajan's construction for ternary algebras of associative type. Also, we developed a deformation and degeneration theory according to Gerstenhaber approach for ternary algebras of associative type, in particular partially associative ternary algebras.MULHOUSE-SCD Sciences (682242102) / SudocSudocFranceF