Inverse scattering via low-frequent moments

This doctoral thesis proposes a new method for the solution of the inverse scattering problem. Inverse scattering problem consists of the determination of physical and geometrical characteristics of a scatterer - which mathematically constitutes a surface of discontinuity of a medium of wave propagation - when scatterer's influence to wave propagation is known. This influence is determined completely by scattering amplitude, function that constitutes problem data. In this thesis, the knowledge of scattering amplitude leads to the determination of the low-frequency moments, whose knowledge leads to scatterer's surface reconstruction. In case of polynomial scatterers, scatter determined after having determined the coefficients of its polar representation case of scatterers with continuous curvature, we determine polynomial surfaces tending to coincide with scatterer's surface as their degree increases. In both cases we use suitably Τichonov regularization in order for the proposed method to be stable and small measurement errors to lead to small change of the determined surface.Η παρούσα διδακτορική διατριβή προτείνει μια νέα μέθοδο για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος σκέδασης. Το αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης συνίσταται στον προσδιορισμό των γεωμετρικών και φυσικών ιδιοτήτων ενός σκεδαστή-που μαθηματικά συνιστά μια επιφάνεια ασυνέχειας του μέσου διάδοσης κυμάτων-όταν είναι γνωστή η επίδραση του σκεδαστή στη διάδοση κυμάτων. Η επίδραση του σκεδαστή καθορίζεται πλήρως από το πλάτος σκέδασης, συνάρτηση που αποτελεί τα δεδομένα του προβλήματος. Στη παρούσα διατριβή η γνώση του πλάτους σκέδασης οδηγεί στον προσδιορισμό των επιφανειακών ροπών των οποίων η γνώση οδηγεί στην ανακατασκευή του σκεδαστή. Στην περίπτωση πολυωνυμικών σκεδαστών προσδιορίζονται οι συντελεστές της πολικής αναπαράστασης της επιφάνειας του σκεδαστή ενώ στην γενική περίπτωση των σκεδαστών με συνεχή καμπυλότητα, προσδιορίζονται πολυωνυμικές επιφάνειες που τείνουν να ταυτιστούν με την επιφάνεια του σκεδαστή καθώς αυξάνει ο βαθμός τους. Και στις δύο περιπτώσεις χρησιμοποιείται κατάλληλα η κανονικοποίηση Tikhonov, έτσι ώστε μικρές μεταβολές των δεδομένων να οδηγούν σε μικρή μεταβολή της εκτιμούμενης επιφάνειας, καθιστώντας έτσι τη μέθοδο ευσταθή

A Conditioned Probabilistic Method for the Solution of the Inverse Acoustic Scattering Problem

In the present work, a novel stochastic method has been developed and investigated in order to face the time-reduced inverse scattering problem, governed by the Helmholtz equation, outside connected or disconnected obstacles supporting boundary conditions of Dirichlet type. On the basis of the stochastic analysis, a series of efficient and alternative stochastic representations of the scattering field have been constructed. These novel representations constitute conceptually the probabilistic analogue of the well known deterministic integral representations involving the famous Green’s functions, and so merit special importance. Their advantage lies in their intrinsic probabilistic nature, allowing to solve the direct and inverse scattering problem in the realm of local methods, which are strongly preferable in comparison with the traditional global ones. The aforementioned locality reflects the ability to handle the scattering field only in small bounded portions of the scattering medium by monitoring suitable stochastic processes, confined in narrow sub-regions where data are available. Especially in the realm of the inverse scattering problem, two different schemes are proposed facing reconstruction from the far field and near field data, respectively. The crucial characteristic of the inversion is that the reconstruction is fulfilled through stochastic experiments, taking place in the interior of conical regions whose base belong to the data region, while their vertices detect appropriately the supporting surfaces of the sought scatterers