Kölcsönható Fermi- és Bose-rendszerek matematikai vizsgálata = Mathematical investigation of interacting Fermi- and Bose-systems

Csapdába zárt Bose részecskék kondenzációját vizsgáltam kölcsönhatás jelenlétében. Megmutattam, hogy viszonylag gyenge, de realisztikus külcsönhatás mellett a szabad gáz alapállapota minden hőmérsékleten makroszkopikusan betöltött. Valamivel erősebb kölcsönhatásra valamivel gyengébb eredményt - 100 %-os általánosított kondenzációt -bizonyítottam egydimenziós Bose gázban. Korrelációs egyenlőtlenségeket vezettem le a betöltési számokra szabad Bose rendszerekben. Bizonyítást adtam arra, hogy homogén Bose rendszerben a mértékinvariancia spontán sérülése ekvivalens a Bose kondenzációval. Kristályos alapállapot létezését igazoltam klasszikus részecskék rendszerében a párkölcsönhatások egy osztályára. Egydimenziós diszkrét Schrödinger operátorok egy osztályára társszerzőimmel alsó becslést adtunk egy hullámcsomag szétterülési sebességére. Oszlányi Gáborral kidolgoztunk egy ab initio eljárást röntgendiffrakciós mérési adatokból kiinduló szerkezetmeghatározásra. | Condensation of trapped bosons in the presence of interaction was studied. It was shown that for weak but realistic interactions the ground state of the free Bose gas is still macroscopically occupied at any temperature. Somewhat stronger interactions were shown to lead, in one dimension, to a somewhat weaker result: a 100 % generalized condensation. Correlation inequalities for occupation numbers in free Bose gases were derived. In homogenous Bose systems Bose condensation was proven to be equivalent to the spontaneous breakdown of the gauge symmetry. Existence of crystalline ground states was shown for a class of classical pair interactions. In a collaboration, for a family of one dimensional discrete Schrödinger operators a lower bound was derived for the decay rate of a wave packet. With Gábor Oszlányi, we elaborated an ab initio method for structure solution, starting with X-ray diffraction data

Variational wave functions for homogenous Bose systems

We study variational wave functions of the product form, factorizing according to the wave vectors k, for the ground state of a system of bosons interacting via positive pair interactions with a positive Fourier transform. Our trial functions are members of different orthonormal bases in Fock space. Each basis contains a quasiparticle vacuum state and states with an arbitrary finite number of quasiparticles. One of the bases is that of Valatin and Butler (VB), introduced fifty years ago and parametrized by an infinite set of variables determining Bogoliubov's canonical transformation for each k. In another case, inspired by Nozi\`eres and Saint James the canonical transformation for k=0 is replaced by a shift in the creation/annihilation operators. For the VB basis we prove that the lowest energy is obtained in a state with ~sqrt{volume} quasiparticles in the zero mode. The number of k=0 physical particles is of the order of the volume and its fluctuation is anomalously large, resulting in an excess energy. The same fluctuation is normal in the second type of optimized bases, the minimum energy is smaller and is attained in a vacuum state. Associated quasiparticle theories and questions about the gap in their spectrum are also discussed

A fázisprobléma megoldásának új módszerei II. = New methods for solving the phase problem II.

A krisztallográfiai fázisprobléma megoldására általunk felfedezett charge flipping módszert több, a gyakorlatban azonnal alkalmazható irányba fejlesztettük tovább. Új algoritmusváltozatokat, adatkezelést, paraméterválasztást vezettünk be, amellyel egyrészt gyorsabban, másrészt jobb minőségben oldhatók meg a kristályszerkezetek. A fejlesztések új alkalmazásokat is lehetővé tettek; az algoritmus egyik változata a negatív szórássűrűségű neutrondiffrakciós adatok, míg egy másik, különböző típusú, súlyosan hiányos adatok esetén működik kiválóan. Utóbbi esetben, akár a krisztallográfiai irodalomban szokásos adatok 1/8-val is lehetséges jó minőségű szerkezetmeghatározás. A kristályos alapállapot elméletével is részletesen foglalkoztunk. Az atomok közötti Fourier-transzformálható kölcsönhatások és a kristályos rend kapcsolatának matematikailag egzakt leírását adtuk egyes speciális, a puhaanyag-fizikához köthető esetekben. Kristályok helyett molekulák azonos replikáin alapul az atomi szerkezet meghatározásának egy teljesen új módszere, az egyrészecske-leképezés. A kísérlet csak szabadelektron-lézereknél lehetséges, és még számos kihívást jelent. Ezek közül mi az adatelőkészítés problémáját oldottuk meg, iterációs módszert alkottunk, amely az ismeretlen orientációjú és rendkívül zajos 2D diffrakciós képeket szerkezetmeghatározásra alkalmas 3D adatkészletté alakítja. | Our charge flipping method, that solves the crystallographic phase problem, was further developed with practical utilization in mind. We introduced new algorithm variants, data treatments and parameter choices, that helped to determine crystal structures both faster and at better quality. These developments also allowed new applications; one of the algorithm variants works well in the case of negative scattering density, and an other in various instances of seriously incomplete data. In the latter case, high quality structure determination is feasible using only 1/8-th of the data expected in the crystallographic literature. We also investigated the ground state of crystals with mathematical rigour. The relationship of Fourier-transformable atomic interactions and crystal order was described, the special cases treated are related to soft matter physics. Our third theme is single particle imaging, a new method of structure determination that is not based on crystals but on molecular replicas. The experiment is only made possible by free electron lasers, and it still poses a number of challenges. We worked on the problem of data preparation, and solved it by creating an iterative procedure that is capable of composing a single high-quality 3D dataset from the large number of noisy 2D images of unknown orientation

Fázisátalakulások és szimmetriasértő fázisok dinamikája = Dynamics of Phase Transitions and Symmetry Breaking Phases

A pályázat célja szimmetriasértő fázisok kialakulásának és tulajdonságainak elméleti vizsgálata volt. Fontos területek voltak az alábbiak. Erősen kölcsönható anyag fázisdiagramjának meghatározása effektív mezon-kvark modellekből felösszegzett perturbációszámítással. A kozmológiai inflációt lezáró egyensúlytól távoli folyamatok dinamikája. Univerzalitási osztályok és skálatörvények egyensúlytól távoli rendszerek kritikus jelenségeinél. Spinor Bose-gázok mágneses tulajdonságai, különböző mágneses fázisok, és ezekben a kvázirészek dinamikája. Szuperfolyékony Fermi-gázok univerzális tulajdonságai a Feshbach-rezonancián. Bose-kondenzáció dinamikája és kontrollparaméter függése üregrezonátorba helyezett gázban. Matematikai fizikai vizsgálatok a Bose-Einstein-kondenzációval és a kristályszerkezet kialakulásával kapcsolatban. | The aim of the research has been the theoretical investigation of the development and properties of symmetry breaking phases. Important fields of the study have been as follows. Determination of the phase diagram of strongly interacting matter from effective meson-quark models with resummation of perturbative series. Investigation of the far from equilibrium dynamical processes characterizing the exit of the universe from the stage of cosmological inflation. Universality classes and scaling laws describing critical phenomena in systems far from equilibrium. Magnetic features of spinor Bose gases, specification of different magnetic phases and the calculation of quasiparticle dynamics in them. Universal properties of inhomogeneous Fermi gases at the Feshbach resonance. The dynamics and control parameter dependence of a Bose-Einstein condensate in an optical cavity. Investigation of the properties of Bose-Einstein condensation and of its competition with crystallization by the methods of mathemetical physics

Equivalence of Bose-Einstein condensation and symmetry breaking

Based on a classic paper by Ginibre [Commun. Math. Phys. {\bf 8} 26 (1968)] it is shown that whenever Bogoliubov's approximation, that is, the replacement of a_0 and a_0^* by complex numbers in the Hamiltonian, asymptotically yields the right pressure, it also implies the asymptotic equality of ||^2/V and /V in symmetry breaking fields, irrespective of the existence or absence of Bose-Einstein condensation. Because the former was proved by Ginibre to hold for absolutely integrable superstable pair interactions, the latter is equally valid in this case. Apart from Ginibre's work, our proof uses only a simple convexity inequality due to Griffiths.Comment: An error in my summary of previous results (the definition of F') is corrected. The correction is to be done also in the PR

From bcc to fcc: interplay between oscillating long-range and repulsive short-range forces

This paper supplements and partly extends an earlier publication, Phys. Rev. Lett. 95, 265501 (2005). In $d$-dimensional continuous space we describe the infinite volume ground state configurations (GSCs) of pair interactions \vfi and \vfi+\psi, where \vfi is the inverse Fourier transform of a nonnegative function vanishing outside the sphere of radius $K_0$, and $\psi$ is any nonnegative finite-range interaction of range $r_0\leq\gamma_d/K_0$, where $\gamma_3=\sqrt{6}\pi$. In three dimensions the decay of \vfi can be as slow as $\sim r^{-2}$, and an interaction of asymptotic form $\sim\cos(K_0r+\pi/2)/r^3$ is among the examples. At a dimension-dependent density $\rho_d$ the ground state of \vfi is a unique Bravais lattice, and for higher densities it is continuously degenerate: any union of Bravais lattices whose reciprocal lattice vectors are not shorter than $K_0$ is a GSC. Adding $\psi$ decreases the ground state degeneracy which, nonetheless, remains continuous in the open interval $(\rho_d,\rho_d')$, where $\rho_d'$ is the close-packing density of hard balls of diameter $r_0$. The ground state is unique at both ends of the interval. In three dimensions this unique GSC is the bcc lattice at $\rho_3$ and the fcc lattice at $\rho_3'=\sqrt{2}/r_0^3$.Comment: Published versio