Smooth critical points of planar harmonic mappings

In a work in 1992, Lyzzaik studies local properties of light harmonic mappings. More precisely, he classifies their critical points and accordingly studies their topological and geometrical behaviours. We will focus our study on smooth critical points of light harmonic maps. We will establish several relationships between miscellaneous local invariants, and show how to connect them to Lyzzaik's models. With a crucial use of Milnor fibration theory, we get a fundamental and yet quite unexpected relation between three of the numerical invariants, namely the complex multiplicity, the local order of the map and the Puiseux pair of the critical value curve. We also derive similar results for a real and complex analytic planar germ at a regular point of its Jacobian level-0 curve. Inspired by Whitney's work on cusps and folds, we develop an iterative algorithm computing the invariants. Examples are presented in order to compare the harmonic situation to the real analytic one.Comment: 36 pages, 5 figure

Suites et séries numériques: Suites et séries de fonctions

Les suites et les séries jouent un rôle fondamental en Analyse mathématique. Avec la notion de convergence qui leur est intimement liée, les suites et les séries numériques sont au cœur de la construction d\u27objets mathématiques essentiels comme les nombres réels ou les intégrales. Par ailleurs, plusieurs fonctions fondamentales, telles que la fonction gamma d\u27Euler ou la fonction zêta de Riemann, sont obtenues comme limite de suites de fonctions ou comme somme d\u27une série de fonctions. L\u27étude de la continuité et de la dérivabilité de telles fonctions conduit très naturellement à la notion cruciale de convergence uniforme. Ce livre propose un cours détaillé sur tous ces sujets avec un éclairage tout particulier sur les séries entières et les séries de Fourier qui constituent la base de l\u27Analyse complexe et de l\u27Analyse de Fourier. L\u27ensemble est rédigé de manière à être adapté à différents parcours et à différents niveaux, et l\u27auteur a systématiquement privilégié l\u27équilibre nécessaire entre les approches abstraites et pratiques. De nombreux exemples et contre-exemples sont disséminés afin de motiver l\u27introduction des concepts et techniques. A la fin de chaque chapitre, un grand choix d\u27exercices rédigés de manière progressive et détaillée permet au lecteur de se familiariser avec les nouvelles notions et de contrôler l\u27assimilation correcte des points essentiels. En vue des examens et des concours, un chapitre entier propose un grand choix de problèmes d\u27approfondissement et de synthèse, tous entièrement corrigés. Cet ouvrage se destine aux étudiants de L1, L2 et L3, et aux candidats au CAPES et à l\u27Agrégation interne

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels: niveau M1

Par la richesse de ses techniques et la grande variété de ses applications, l\u27Analyse de Fourier est un outil fondamental tarit pour les mathématiques que pour la physique et les sciences de l\u27ingénieur. Parmi ses applications récentes se distinguent notamment le traitement du signal, la mécanique quantique ou encore les neurosciences. Le contenu de ce livre s\u27articule autour des thèmes fondamentaux suivants : espaces de Hilbert, produit de convolution, transformation de Fourier et séries de Fourier. Il s\u27agit d\u27un cours complet avec démonstrations détaillées et de nombreux exemples d\u27applications issus d\u27horizons très divers. Le lecteur trouvera également un chapitre spécial entièrement consacré à des exercices et problèmes de révision et de synthèse complétant et approfondissant les exercices de compréhension qui émaillent le cours. Il trouvera également cieux annexes, une première l\u27invitant à la découverte de prolongements très naturels de divers concepts et résultats du cours, avec notamment une étude détaillée des transformations de Laplace, Mellin et Hankel, ainsi qu\u27une introduction à la transformation de Fourier sur les groupes abéliens finis. Une seconde annexe regroupe les rappels utiles pour un accès rapide et efficace au contenu de l\u27ouvrage. Pour chaque exercice, le lecteur dispose d\u27indications lui permettant de surmonter d\u27éventuelles difficultés puis d\u27une solution complète. Enfin, ce livre est pourvu d\u27un index détaillé permettant une approche adaptée aux besoins de chaque lecteur. Le présent ouvrage s\u27adresse principalement aux étudiants de niveau Master 1, aux candidats à l\u27Agrégation et aux professeurs des classes préparatoires. Il est également conçu de manière à être accessible, pour une large part, à un public scientifique généraliste de niveau bac +3, et peut être utilisé avec profit par les candidats au CAPES ainsi que par les élèves ingénieurs

Intégrale de Riemann: Théorie et pratique, avec exercices corrigés

Etude des principales propriétés, techniques de calcul diverses et méthodes d\u27approximation de l\u27intégrale de Riemann (intégrales généralisées, intégrales dépendant d\u27un paramètre, intégrale des fonctions de plusieurs variables). Avec des exercices corrigés, un chapitre consacré à la révision des concours et une annexe proposant des rappels du contenu

Modelling of figure-eight all-fiber laser

The figure-eight fiber laser is considered in two configurations, with either a unidirectional active ring cavity coupled with a nonlinear optical loop mirror (NOLM) or a unidirectional passive cavity and a nonlinear amplifying loop mirror (NALM). In each case, we derive a master equation of cubic complex Ginzburg Landau (CGL) type, in which the coefficients explicitly depend on the characteristics of the cavity. Single-pulse and continuous wave (cw) solutions in both normal and anomalous dispersion are discussed analytically

Pluie de solitons dans un laser à fibre co-dopée Er:Yb en forme de huit

Nous rapportons ici l\u27observation expérimentale d\u27un comportement collectif d\u27un ensemble de soliton, appelé pluie de solitons, dans un laser à fibre en forme de huit avec un miroir à boucle non linéaire (NOLM). Cette dynamique non linéaire a été précédemment observée dans un laser à fibre verrouillé passivement par la technique de rotation de polarisation non linéaire. A partir d\u27un fond continu, des solitons se créent et dérivent vers la phase condensée de plusieurs solitons. L\u27observation de cette dynamique tend à renforcer l\u27idée de l\u27universalité du comportement collectif des solitons. 

Auto-organisation d’un grand nombre d’impulsions dans un laser à fibre dope Er:Yb

Nous proposons une étude inédite de l’interaction d’un grand nombre d’impulsions dans un laser à fibre double gaine dopée à l\u27Er :Yb fonctionnant par rotation non linéaire de la polarisation. A cause des phénomènes d\u27attractions et de répulsions entre solitons, des régimes auto-organisés peuvent être générés. Par analogie avec les états de la matière, nous nous sommes intéressés aux régimes "gaz de solitons", "jet supersonique de solitons", "polycristal de solitons", "liquide de solitons" et "cristal de solitons"

A fragment of Foley catheter balloon as a cause of Bladder stone in woman

Urinary bladder calculi are rarely seen in women and any history of previous pelvic surgery must, therefore, raise suspicion of an iatrogenic etiology. According to the literature, fewer than 2% of all bladder calculi occur in female subjects and, thus, their presence should provoke careful assessment of the etiology. We report one case of a fragment of Foley catheter balloon as a cause of Bladder stone in 28 years old woman. Weanalyzed the diagnosis, aspect and therapeutic management of this case which is the first described in literature to our knowledge

Hémophilie B mineure révélée par une hémorragie cérébrale: à propos d’un cas

L'hémorragie intracrânienne (HIC) du nouveau-né à terme est une pathologie rare, leur prévalence est estimée à 2% des naissances vivantes. Les manifestations cliniques sont variables et non spécifique. Les causes d'HIC sont multiples et souvent intriquées, les mécanismes physiopathologiques principaux sont la dysrégulation du débit cérébral, une obstruction des vaisseaux ou une coagulation intravasculaire; ou une lésion directe par traumatisme. Nous rapportons le cas d'un nourrisson d'un mois qui a été admis dans notre service pour prendre en charge des convulsions associées à une pâleur cutanéomuqueuse, suite à laquelle l'examen biologique a mis fortuitement en faveur une hémophilie mineure sur une maladie hémorragique tardive

Comparative study of soliton complexes in different laser configurations

We investigate the formation of self-organized and disorganized soliton structures in passively mode-locked Er:Yb doped double-clad fiber laser. Two laser configurations are studied. The first one is based on mode-locking through nonlinear polarization rotation while the second geometry is a figure-eight cavity in which the mode-locking is obtained with a nonlinear optical loop mirror. Although the physical mechanisms of mode-locking are different, we demonstrate that collective behaviours and soliton complexes are similar in both configurations. That demonstrates the universality of the solitonic structures