Asymptotic analysis for radial sign-changing solutions of the Brezis-Nirenberg problem

We study the asymptotic behavior, as $\lambda \rightarrow 0$, of least energy radial sign-changing solutions $u_\lambda$, of the Brezis-Nirenberg problem \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u = \lambda u + |u|^{2^* -2}u & \hbox{in}\ B_1\\ u=0 & \hbox{on}\ \partial B_1, \end{cases} \end{equation*} where $\lambda >0$, $2^*=\frac{2n}{n-2}$ and $B_1$ is the unit ball of $\R^n$, $n\geq 7$. We prove that both the positive and negative part $u_\lambda^+$ and $u_\lambda^-$ concentrate at the same point (which is the center) of the ball with different concentration speeds. Moreover we show that suitable rescalings of $u_\lambda^+$ and $u_\lambda^-$ converge to the unique positive regular solution of the critical exponent problem in $\R^n$. Precise estimates of the blow-up rate of $\|u_\lambda^\pm\|_{\infty}$ are given, as well as asymptotic relations between $\|u_\lambda^\pm\|_{\infty}$ and the nodal radius $r_\lambda$. Finally we prove that, up to constant, $\lambda^{-\frac{n-2}{2n-8}} u_\lambda$ converges in $C_{loc}^1(B_1-\{0\})$ to $G(x,0)$, where $G(x,y)$ is the Green function of the Laplacian in the unit ball.Comment: 28 page

Sign-changing bubble-tower solutions to fractional semilinear elliptic problems

We study the asymptotic and qualitative properties of least energy radial sign-changing solutions to fractional semilinear elliptic problems of the form $$\begin{cases} (-\Delta)^s u = |u|^{2^*_s-2-\varepsilon}u &\text{in } B_R, \\ u = 0 &\text{in }\mathbb{R}^n \setminus B_R, \end{cases}$$ where $s \in (0,1)$, $(-\Delta)^s$ is the s-Laplacian, $B_R$ is a ball of $\mathbb{R}^n$, $2^*_s := \frac{2n}{n-2s}$ is the critical Sobolev exponent and $\varepsilon>0$ is a small parameter. We prove that such solutions have the limit profile of a "tower of bubbles", as $\varepsilon \to 0^+$, i.e. the positive and negative parts concentrate at the same point with different concentration speeds. Moreover, we provide information about the nodal set of these solutions

A nonexistence result for sign-changing solutions of the Brezis-Nirenberg problem in low dimensions

We consider the Brezis-Nirenberg problem: \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u = \lambda u + |u|^{2^* -2}u & \hbox{in}\ \Omega\\ u=0 & \hbox{on}\ \partial \Omega, \end{cases} \end{equation*} where $\Omega$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N$, $N\geq 3$, $2^{*}=\frac{2N}{N-2}$ is the critical Sobolev exponent and $\lambda>0$ a positive parameter. The main result of the paper shows that if $N=4,5,6$ and $\lambda$ is close to zero there are no sign-changing solutions of the form $$u_\lambda=PU_{\delta_1,\xi}-PU_{\delta_2,\xi}+w_\lambda,$$ where $PU_{\delta_i}$ is the projection on $H_0^1(\Omega)$ of the regular positive solution of the critical problem in $\mathbb{R}^N$, centered at a point $\xi \in \Omega$ and $w_\lambda$ is a remainder term. Some additional results on norm estimates of $w_\lambda$ and about the concentrations speeds of tower of bubbles in higher dimensions are also presented.Comment: 21 page

Spacelike radial graphs of prescribed mean curvature in the Lorentz-Minkowski space

In this paper we investigate the existence and uniqueness of spacelike radial graphs of prescribed mean curvature in the Lorentz-Minkowski space $\mathbb{L}^{n+1}$, for $n\geq 2$, spanning a given boundary datum lying on the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$

A sharp gradient estimate and W2,qW^{2,q} regularity for the prescribed mean curvature equation in the Lorentz-Minkowski space

We consider the prescribed mean curvature equation for entire spacelike hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski space, namely \begin{equation*} -\operatorname{div}\left(\displaystyle\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\right)= \rho \quad \hbox{in }\mathbb{R}^N, \end{equation*} where $N\geq 3$. We first prove a new gradient estimate for classical solutions with smooth data $\rho$. As a consequence we obtain that the unique weak solution of the equation satisfying a homogeneous boundary condition at infinity is locally of class $W^{2,q}$ and strictly spacelike in $\mathbb{R}^N$, provided that $\rho\in L^q(\mathbb{R}^N) \cap L^m(\mathbb{R}^N)$ with $q>N$ and $m\in[1,\frac{2N}{N+2}]$

Sistemi ellittici totalmente non lineari del secondo ordine

In questa tesi vogliamo esporre i principali risultati riguardanti l'esistenza e l'unicità della soluzione per il problema di Dirichlet, la regolarità all'interno e al bordo, per sistemi differenziali totalmente non lineari di tipo ellittico. In particolare ci occupiamo di sistemi del secondo ordine in forma non variazionale. Esistono diverse definizioni di ellitticità per i sistemi differenziali lineari: ad esempio possiamo citare la Condizione di Legendre, quella di Legendre-Hadamard, quella di Cordes e la Condizione (A) di Campanato. Noi utilizziamo quest'ultima nella sua formulazione per sistemi non lineari. La Condizione (A) ha il pregio di essere strettamente correlata alla Teoria degli operatori vicini, la quale permette di trovare, in maniera semplice ed elegante, risultati di esistenza e di unicità della soluzione. Inoltre, questa condizione di ellitticità permette agevolmente di ottenere teoremi di regolarità all'interno negli spazi $L^{p,\lambda}$ di Morrey e negli spazi $\mathcal{L}^{p,\lambda}$ di Campanato. Nel primo capitolo esponiamo in modo esauriente tutti i principali risultati della Teoria degli operatori vicini, il cui nucleo centrale è il Teorema fondamentale, il quale stabilisce che se $A,B:X\rightarrow Y$ sono applicazioni fra spazi di Banach, e $A$ è vicina a $B$ (in un senso che precisiamo), allora, se $B$ è una bigezione, anche $A$ lo è. Come conseguenza della teoria, viene anche dimostrata una generalizzazione del Teorema di Lax-Milgram ad operatori non lineari surgettivi, ed un teorema che generalizza il Teorema delle funzioni implicite di Hildebrandt-Graves. Nel secondo capitolo illustriamo vari teoremi di regolarità all'interno per sistemi ellittici di diversa natura, ed un risultato di esistenza ed unicità globale per il problema di Dirichlet relativo a sistemi ellittici in forma quasi base, ossia aventi parte principale del tipo $F(x,D^2u)$. L'idea della dimostrazione del Teorema di esistenza ed unicità globale è di provare che l'operatore $F(x,D^2u)$ è vicino all'operatore di Laplace, per poi concludere grazie al Teorema fondamentale della teoria degli operatori vicini. Infatti, come è noto dalla teoria dei sistemi ellittici lineari, l'operatore di Laplace è una bigezione fra gli spazi $H^2(\Omega,\R^N) \cap H_0^1(\Omega,\R^N)$ e $L^2(\Omega,\R^N)$, dove $\Omega$ è un aperto limitato, convesso ed avente frontiera regolare. Le dimostrazioni dei teoremi di regolarità delle soluzioni seguono il metodo di Campanato: ricavare la differenziabilità delle soluzioni, ottenere maggiorazioni di tipo Caccioppoli e di tipo Poincaré, e l'utilizzo dei cosiddetti \textit{lemmialgebrici}. Per quanto riguarda i sistemi in forma completa, ossia con parte principale del tipo $F(x,u,Du,D^2u)$, attraverso il Teorema del punto fisso di Birkhoff-Kellogg-Schauder, otteniamo un risultato di esistenza locale, e proviamo un teorema di h\"{o}lderianità locale delle soluzioni. Nel terzo ed ultimo capitolo, forniamo un risultato di regolarità (differenziabilità) fino al bordo per il problema di Dirichlet su una semisfera, relativo a sistemi ellittici omogenei in forma base, ossia del tipo $F(D^2u)=0$. Occorre sottolineare che, mentre per i sistemi non lineari variazionali esistono diversi lavori riguardanti la regolarità al bordo, per quelli in forma non variazionale resta ancora aperto il problema di sviluppare una teoria della regolarità negli spazi $\mathcal{L}^{p,\lambda}$

Existence of nonradial domains for overdetermined and isoperimetric problems in nonconvex cones

In this work we address the question of the existence of nonradial domains inside a nonconvex cone for which a mixed boundary overdetermined problem admits a solution. Our approach is variational, and consists in proving the existence of nonradial minimizers, under a volume constraint, of the associated torsional energy functional. In particular we give a condition on the domain $D$ on the sphere spanning the cone which ensures that the spherical sector is not a minimizer. Similar results are obtained for the relative isoperimetric problem in nonconvex cones

Annular type surfaces with fixed boundary and with prescribed, almost constant mean curvature

We prove existence and nonexistence results for annular type parametric surfaces with prescribed, almost constant mean curvature, characterized as normal graphs of compact portions of unduloids or nodoids in $\mathbb{R}^{3}$, and whose boundary consists of two coaxial circles of the same radius.Comment: 33 page