Retractability of solutions to the Yang-Baxter equation and p-nilpotency of skew braces

Using Bieberbach groups, we study multipermutation involutive solutions to the Yang-Baxter equation. We use a linear representation of the structure group of an involutive solution to study the unique product property in such groups. An algorithm to find subgroups of a Bieberbach group isomorphic to the Promislow subgroup is introduced and then used in the case of structure group of involutive solutions. To extend the results related to retractability to non-involutive solutions, following the ideas of Meng, Ballester-Bolinches and Romero, we develop the theory of right p-nilpotent skew braces. The theory of left p-nilpotent skew braces is also developed and used to give a short proof of a theorem of Smoktunowicz in the context of skew braces.Fil: Acri, Emiliano Francisco. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; ArgentinaFil: Lutowski, R.. University Of Gdańsk; PoloniaFil: Vendramin, Claudio Leandro. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; Argentin

Skew braces of size pq

We construct all skew braces of size pq (where p > q are primes) by using Byott’s classification of Hopf–Galois extensions of the same degree. For (Formula presented.) there exists only one skew brace which is the trivial one. When (Formula presented.) we have (Formula presented.) skew braces, two of which are of cyclic type (so, contained in Rump’s classification) and 2q of non-abelian type.Fil: Acri, Emiliano Francisco. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Bonatto, Marco. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentin