Méthodes de sous-espaces de Krylov matriciels appliquées aux équations aux dérivées partielles

Cette thèse porte sur des méthode de résolution d'équations matricielles appliquées à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles ou des problèmes de contrôle linéaire. On s'intéressen en premier lieu à des équations matricielles linéaires. Après avoir donné un aperçu des méthodes classiques employées pour les équations de Sylvester et de Lyapunov, on s'intéresse au cas d'équations linéaires générales de la forme M(X)=C, où M est un opérateur linéaire matriciel. On expose la méthode de GMRES globale qui s'avère particulièrement utile dans le cas où M(X) ne peut s'exprimer comme un polynôme du premier degré en X à coefficients matriciels, ce qui est le cas dans certains problèmes de résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Nous proposons une approche, noté LR-BA-ADI consistant à utiliser un préconditionnement de type ADI qui transforme l'équation de Sylvester en une équation de Stein que nous résolvons par une méthode de Krylox par blocs. Enfin, nous proposons une méthode de type Newton-Krylov par blocs avec préconditionnement ADI pour les équations de Riccati issues de problèmes de contrôle linéaire quadratique. Cette méthode est dérivée de la méthode LR-BA-ADI. Des résultats de convergence et de majoration de l'erreur sont donnés. Dans la seconde partie de ce travail, nous appliquons les méthodes exposées dans la première partie de ce travail à des problèmes d'équations aux dérivées partielles. Nous nous intéressons d'abord à la résolution numérique d'équations couplées de type Burgers évolutives en dimension 2. Ensuite, nous nous intéressons au cas où le domaine borné est choisi quelconque. Nous établissons des résultats théoriques de l'existence de tels interpolants faisant appel à des techniques d'algèbre linéaire.This thesis deals with some matrix equations involved in numerical resolution of partial differential equations and linear control. We first consider some numerical resolution techniques of linear matrix equation. In the second part of this thesis, we apply these resolution techniques to problems related to partial differential equations.DUNKERQUE-SCD-Bib.electronique (591839901) / SudocSudocFranceF

Approximation du problème de diffusion en tomographie optique et problème inverse

Cette thèse porte sur l approximation des équations aux dérivées partielles, en particulier l équation de diffusion en tomographie optique. Elle peut se présenter en deux parties essentielles. Dans la première partie on discute le problème direct alors que le problème inverse est abordé dans la seconde partie. Pour le problème direct, on suppose que les paramètres optiques et les fonctions sources sont donnés. On résout alors le problème de diffusion où la densité du flux lumineux est considérée comme une fonction inconnue à approcher numériquement. Le plus souvent, pour reconstruire le signal numérique dans ce genre de problème, une discrétisation dans le temps est nécessaire. Nous avons proposé d utiliser la transformée de Fourier et son inverse afin d éviter une telle discrétisation. Les techniques que nous avons utilisées sont la quadrature de Gauss-Hermite ainsi que la méthode de Galerkin basée sur les B-splines ou les B-splines tensorielles et sur les fonctions à base radiales. Les B-splines sont utilisées en dimension un alors que les B-splines tensorielles sont utilisées lorsque le domaine est rectangulaire avec un maillage uniforme. Lorsque le domaine n est plus rectangulaire, nous avons proposé de remplacer la base des B-splines tensorielles par les fonctions à base radiale construites à partir d un nuage de points dispersés dans le domaine. Du point de vue théorique, nous avons étudié l existence, l unicité et la régularité de la solution puis nous avons proposé quelques résultats sur l estimation de l erreur dans les espaces de type Sobolev ainsi que sur la convergence de la méthode. Dans la seconde partie de ce notre travail, nous nous sommes intéressés au problème inverse. Il s agit d un problème inverse non-linéaire dont la non-linéarité est liée aux paramètres optiques. On suppose qu on dispose des mesures du flux lumineux aux bords du domaine étudié et des fonctions sources. On veut alors résoudre le problème inverse de façon à simuler numériquement l indice de réfraction ainsi que les coefficients de diffusion et d absorption. Du point de vue théorique, nous avons discuté certains résultats tels que la continuité et la dérivabilité, au sens de Fréchet, de l opérateur mesurant le flux lumineux reçu aux bords. Nous avons établi la propriété lipschitzienne de la dérivée de Fréchet en fonction des paramètres optiques. Du point de vue numérique nous nous sommes intéressés au problème discret dans la base des B-splines et la base des fonctions radiales. Ensuite, nous avons abordé la résolution du problème inverse non-linéaire par la méthode de Gauss-Newton.The purpose of this thesis is to develop and to study numerical methods for the solution of some Partial Differential Equations (PDE) such as the diffusion transport problem in optical tomography. The presented work can be partitioned into two parts. In the first part, we consider the direct problem and in the second part, we treat the inverse problem. For the direct problem, we assume that the optical parameters and the source functions are given. Here, the density of the luminous flow is considered as an unknown function to be approached numerically. Generally, to reconstruct the numerical signal, a mesh-technique (in the time variable) is necessary. To avoid such a discretisation, we will use a technique based on the Fourier transform and its inverse. These methods use the Gauss-Hermite quadrature as well as Galerkin method based on Bsplines, B-splines tensorial and radial basis functions (RBF). The B-splines are used in the one-dimension case while the tensorial B-splines are used when the domain is rectangular with a uniform mesh. When the domain is not rectangular any more, we use the radial basis functions. From the theoretical point of view, we will study the existence, the uniqueness and the regularity of the solution and then we propose some results on the estimation of the error in Sobolev-type spaces. In the second part of this work, we are interested in the diffusion inverse problem : a non-linear inverse problem. We suppose that the measures of the luminous flow in the edges of the domain and the source functions are given. We will give some theoretical results such as the continuity and the differentiability, in the Fréchet sense of the operator defined to measure the luminous flow detected on the edges of the domain. From the numerical point of view adds, we will be interested in the discreet case using B-splines and radial basis functions. We will use the Newton method to solve the non-linear inverse diffusion problem.CALAIS-BU Sciences (621932101) / SudocSudocFranceF

Estimation de l'erreur pour l'interpolation vectorielle par les div-rot splines sous tension

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A conditional gradient method for primal-dual total variation-based image denoising. ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis

In this paper, we consider the problem of image denoising by total variation regularization. We combine the conditional gradient method with the total variation regularization in the dual formulation to derive a new method for denoising images. The convergence of this method is proved. Some numerical examples are given to illustrate the effectiveness of the proposed method

Inverse Problems: Computation and Applications

none6Inverse problems are concerned with the determination of causes of observed effects. Their investigation and solution continue to receive considerable attention by mathematicians, researchers in applied sciences, as well as engineers. A reason for this is the widespread availability of inexpensive computing power, which makes it possible for many scientists and engineers to solve more of the many inverse problems that arise in the applied sciences and engineering. This in turn spurs analyses of new inverse problems and the development of new numerical methods for their solution. The conference ‘‘Inverse Problems: Computation and Applications’’ held at the Centre International de Rencontres Mathèmatiques, Luminy, May 31–June 4, 2010, focused on inverse problems that are ill-posed in the sense of Hadamard’s famous definition: they might not have a solution, the solution might not be unique, and the solution might depend discontinuously on the data. The solution of Fredholm integral equations of the first kind with a smooth kernel is a classical ill-posed problem that often arises in the context of inverse problems. Parameter estimation problems for differential equations also are inverse problems that often are ill-posed. Applications where inverse problems arise include astronomical imaging, computerized tomography, remote sensing, and the restoration of images that have been contaminated by blur and noise. In most practical applications where inverse problems arise, the available data is contaminated by noise. This feature is a major contributor to the numerical difficulty in solving ill-posed inverse problems. The noise may stem from inaccuracies in the measurements of the data, transmission errors, and discretization. The high sensitivity of ill-posed problems to perturbations in the data makes it necessary to replace the given inverse problem by a nearby problem that is less sensitive to errors in the available data. This replacement is known as regularization. The most well-known regularization method is due to A.N. Tikhonov. Regularization by truncated singular value decomposition and by truncated iteration are other popular approaches to determine nearby problems that are less sensitive to the errors in the data and to round-off errors introduced during the computations. It was the aim of the conference Inverse Problems: Computation and Applications to: • promote interaction between researchers, who work on theoretical and computational aspects of inverse problems, • facilitate exchange between mathematicians, researchers in the applied sciences, and engineers, • enable researchers, who use different solution and analysis techniques, to exchange their experiences, and • introduce post-docs and Ph.D. students to inverse problems. The conference was organized with support from the Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées at the University of Littoral Côte d’Opale. The conference had 54 participants, many of whom can be seen in Fig. 1. A selection of the papers presented at the conference are published in this special issue of J. Comput. Appl. Math. The guest editors would like to thank the authors for submitting their papers, the referees for their thoughtful reports, as well as Professor Luc Wuytack, editor for this journal, and Palavi Das, Elena Grinari, and Stella Yan at Elsevier for their support and help with this special issue. We would like to express our gratitude to all conference participants for their contributions and for making the conference a very interesting and pleasant event. Finally, we also would like to thank the staff at CIRM for their kind help with this conference.Volume 236, Issue 8openA. Bouhamidi; K. Jbilou; R. Ramlau; L. Reichel; H. Sadok; Sgallari FA. Bouhamidi; K. Jbilou; R. Ramlau; L. Reichel; H. Sadok; Sgallari

Pseudo-polyharmonic vectorial approximation for div-curl and elastic semi-norms

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