Composing and Factoring Generalized Green's Operators and Ordinary Boundary Problems

We consider solution operators of linear ordinary boundary problems with "too many" boundary conditions, which are not always solvable. These generalized Green's operators are a certain kind of generalized inverses of differential operators. We answer the question when the product of two generalized Green's operators is again a generalized Green's operator for the product of the corresponding differential operators and which boundary problem it solves. Moreover, we show that---provided a factorization of the underlying differential operator---a generalized boundary problem can be factored into lower order problems corresponding to a factorization of the respective Green's operators. We illustrate our results by examples using the Maple package IntDiffOp, where the presented algorithms are implemented.Comment: 19 page

Periodic solutions of impulsive systems with a small delay in the critical case of second order

We consider an impulsive differential-difference system such that the corresponding system without delay is linear and has an r-parametric family of w-periodic solutions. For this case, an equation for the generating amplitudes is derived, and sufficient conditions are obtained for the existence of wperiodic solutions of the initial system in the critical case of the second order if the delay is sufficiently small.Розглядається нелінійна періодична імпульсна диференціальна система із запізненням у припущенні, що відповідна система без запізнення є лінійною і має r -параметричну сім’ю періодичних розв’язків. Побудовано рівняння для породжуючих амплітуд такої задачі, що дає необхідну умову існування розв’язків. Одержані достатні умови існування періодичних розв’язків вихідної нелінійної системи у критичному випадку другого порядку при досить малому аргументу, що запізнюється