Image of the Burau Representation at dd-th Roots of unity

We prove that the image of the Full braid group $B_{n+1}$ on $n+1$ strands under the Burau representation, evaluated at a primitive $d$-th root of unity is arithmetic provided $n\geq d$.Comment: To appear in Annals of Mathematics. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1204.477

Actions of the braid group, and new algebraic proofs of results of Dehornoy and Larue

This article surveys many standard results about the braid group with emphasis on simplifying the usual algebraic proofs. We use van der Waerden's trick to illuminate the Artin-Magnus proof of the classic presentation of the algebraic mapping-class group of a punctured disc. We give a simple, new proof of the Dehornoy-Larue braid-group trichotomy, and, hence, recover the Dehornoy right-ordering of the braid group. We then turn to the Birman-Hilden theorem concerning braid-group actions on free products of cyclic groups, and the consequences derived by Perron-Vannier, and the connections with the Wada representations. We recall the very simple Crisp-Paris proof of the Birman-Hilden theorem that uses the Larue-Shpilrain technique. Studying ends of free groups permits a deeper understanding of the braid group; this gives us a generalization of the Birman-Hilden theorem. Studying Jordan curves in the punctured disc permits a still deeper understanding of the braid group; this gave Larue, in his PhD thesis, correspondingly deeper results, and, in an appendix, we recall the essence of Larue's thesis, giving simpler combinatorial proofs.Comment: 51`pages, 13 figure

Graphs and Reflection Groups

It is shown that graphs that generalize the ADE Dynkin diagrams and have appeared in various contexts of two-dimensional field theory may be regarded in a natural way as encoding the geometry of a root system. After recalling what are the conditions satisfied by these graphs, we define a bilinear form on a root system in terms of the adjacency matrices of these graphs and undertake the study of the group generated by the reflections in the hyperplanes orthogonal to these roots. Some ``non integrally laced " graphs are shown to be associated with subgroups of these reflection groups. The empirical relevance of these graphs in the classification of conformal field theories or in the construction of integrable lattice models is recalled, and the connections with recent developments in the context of ${\cal N}=2$ supersymmetric theories and topological field theories are discussed.Comment: 42 pages TEX file, harvmac and epsf macros, AMS fonts optional, uuencoded, 8 figures include

Kartlegging og verdsetting av bytrærs betydning for økosystemtjenester i Bodø, Bærum, Kristiansand og Oslo. Trekroner-prosjektet

Barton, D.N., A'Campo, W.A.J., Immerzeel, B., Östberg, J. & Often, A. 2024. Kartlegging og verdisetting av bytrærs betydning for økosystemtjenester i Bodø, Bærum, Kristiansand og Oslo. NINA Rapport 2391. Norsk institutt for naturforskning. Kartlegging og økonomisk verdsetting av bytrær kan brukes til generell bevisstgjøring, økosystemegnskap for urbane områder, kobling mot helsestrategier, planlegging av naturbaserte løsninger, klimatilpasning, og beplantningsstrategier, grunnlag for arealplaner med vernebestemmelser, tidligfase stedsanalyser, vurdering av byggetillatelse, forskrift om erstatningskrav og vurdering av fysiske og økonomiske kompensasjonstilak for grønnstruktur. Rapporten bistår Bærum, Bodø, Kristiansand og Oslo kommuner spesielt, og «I Front nettverket for klimatilpasning» generelt, med å synliggjøre bytrærs bidrag til økosystemtjenester i byggesonen. Rapporten oppsummerer resultater fra kartlegging basert på data fra flybåren laserdata, beregning av fysiske økosystemtjenester ved hjelp av i-Tree-Eco modellen, og økonomisk beregning av deres verdi i byggesonene i hver kommune. Det er lagt vekt på å bruke eksisterende data, og demonstrere metoder som kommunene selv kan bruke for kartlegging, bakkeregistering og verdsetting av trær. Rapporten tester nye metode som lar kommuner beregne økosystemtjenester og økonomiske verdier basert på kartlegging av individuelle trekroner og kobling til kommunenes eksisterende bytreregistre. Rapporten tester og drøfter ulike anvendelser av trekrone-statistikk, kartlegging og verdsetting. Vi viser hvordan man kan kartlegge trekroner i byggesonen på både privat og offentlig grunn ved hjelp av kommunenes egne laserdata. Individuelle trekroner er avgrenset i kart som datagrunnlaget for beregning av økosystemtjenester og verdisetting. Kartene disse oversiktstallene er hentet viser som forventet stor variasjon mellom bydeler og byer. Vi har kartlagt antall trekroner i Bodø (103 504), Bærum (218 700), Kristiansand (11 081) og Oslo (632 915), og beregnet 3-30-300-«regelen» for synlighet av og tilgang til trær på lokalt nivå i de fire byenes byggesoner: • Andel boligbygg som har minst 3 trær innenfor en avstand på 15 meter er beregnet til hhv. 76% i Bodø, 49% i Bærum, 55% i Kristiansand og 96% i Oslo. • I de fire byene er trekronedekket som % av byggesonen på hhv. 16% i Bodø, 12% i Bærum, 12% i Kristiansand og 34% i Oslo (Datavedlegg 9). • Andel boligbygg som har mindre enn 300 meter til nærmeste grøntområde er 87% i Bodø, 94% i Bærum, 69% i Kristiansand og 77% i Oslo. Ved hjelp av US Forestry Service modellen i-Tree-Eco har vi modellert følgende regulerende økosystemtjenester for trær i kommunens treregistre: Karbonopptak og lagring i treets biomasse; overvannshåndtering, trekroners bidrag til luftrensing; energibesparelse og redusert CO2 utslipp fra bygg fordi trær regulerer klima lokalt. Verdiene fra dette utvalget med enkelttrær er så ekstrapolert med en statistisk modell til alle trekronene i byggesonen i hver bykommune. Disse regulerende tjenestene er også verdsatt økonomisk. • De kartlagte trærne bidrar med regulerende økosystemtjenester beregnet til en total verdi av henholdsvis 3,8 millioner kr/år i Bodø, 42 millioner kr/år i Bærum, 1,1 million kr/år i Kristiansand og 223 millioner kr/år i Oslo. I tillegg har vi modellert og kartlagt trærnes effekt på mikroklima i utemiljø (reduksjon av urbane varmeøyer) og laget grafiske fremstillinger for å formidle denne informasjonen. Bytreatlaset kartlegger også enkelttrærs visuelle betydning for offentlige og private eiendommer. Kartdata produsert i prosjektet er overlevert som 4 Bytreatlas til kommunene og tilgjengelig online på: Bodø: https://experience.arcgis.com/experience/5191adc2c4b34658aea227c9853c6ebb Bærum: https://experience.arcgis.com/experience/8e112760eff34fd5b9176cefb7d31eb3 Kristiansand: https://experience.arcgis.com/experience/6e047c5432e64b3f9abb1592d7907ff6 Oslo: https://experience.arcgis.com/experience/aa5030c8735946949086e4ee3dd7638b Siden treslag og habitatverdi av bytrær ikke kan kartlegges utelukkende med fjernmålingsdata demonstrerer vi en metode for feltregistrering av trær med en digital registreringsapp basert på programvaren QField. Appen gjør det også mulig å registrere variabler som brukes i Norsk Standards metode for Verdsetting av Trær (VAT), inkludert utvalgte parametre for habitatverdi. Rapportens hoveddel gir en rekke eksempler på kartlegging og verdsetting av bytrær fra de fire kommunene. Statistikk og kartvedlegg gir en oversikt over kart og databaser som er overlevert kommunene som del av oppdraget. En rekke metodevedlegg i rapporten er også offentlig tilgjengelige på Github– en åpen plattform der programvare-kode og metode kan lagres, dokumenteres og deles. Vedleggene er beregnet på kommunens fagfolk innen treforvaltning og geodata for å kunne oppdatere trekrone-kartlegging når nye laserdata blir tilgjengelige, oppdatere treregistre med nye feltregistreringer. Metodikken for beregne og kartlegge økosystemtjenester er beskrevet i vedleggene. Rapporten sammenfatter erfaringer fra i-Tree-prosjektet i Sverige, og svenske kommuners et-terbruk av resultatene fra kartlegging og verdsetting av bytrær. Siste del av rapporten oppsummerer ulike formål og anvendelser av kartlegging og verdsetting av bytrær i kommunal forvaltning, planlegging og politikk. Til slutt identifiserer vi kunnskaps- og metodebehov som bør følges opp i fremtidig forskning og utvikling. Erratum: Tabellene S11 til S33 har korrigert tabellnummerering i denne versjonen, og formatte-ringsfeil i statistikken i Tabell S6, S7, S11, S12, S18, S19 og S25 er korrigert. (Oslo, 4. juli 2024)Barton, D.N., A'Campo, W.A.J., Immerzeel, B., Östberg, J. & Often, A. 2024 Mapping and valuation of urban trees importance for ecosystem services in Bodø, Bærum, Kristiansand and Oslo, Norway [Norwegian: Kartlegging og verdisetting av bytrærs betydning for økosystemtjenester i Bodø, Bærum, Kristiansand og Oslo.] NINA Report 2391. Norwegian Institute for Nature Research Mapping and economic valuation of urban trees can be used for general awareness raising, urban nature accounting, linking to health strategies, planning of nature-based solutions, climate adaptation and planting strategies, early phase site analyses, assessment of building permits and assessment of physical and economic compensation measures for green structures. The report aims at assisting the Norwegian municipalities of Bærum, Bodø, Kristiansand and Oslo in particular, and municipalities in the "iFront network for climate adaptation" in general, in highlighting the contribution of trees to ecosystem services in urban areas. The report summa-rises results from mapping, assessment of physical ecosystem services, and economic valuation in the built-up zones of each municipality. The report emphasises the use of existing data and demonstrates methods that municipalities' own geodata departments can use for mapping, ground registration and valuation of urban trees. The report tests new methods that allow municipalities to calculate ecosystem services and economic values of individual trees based on existing urban tree registers, and a full-scale mapping of tree crowns using available remote sensing data. The report map tree crowns on public and private land in each municipality using publicly available laserdata. A total of 103 504 tree crowns were mapped in Bodø, 218 700 in Bærum, 11 081 in Kristiansand and 632 915 in Oslo, and calculated 3-30-300 “rule” for visibility of and access to trees at local level in the four cities' building zones. The proportion of housing units that have at least 3 trees within 15 m of the building zone is calculated to be 76% in Bodø, 49% in Bærum, 55% in Kristiansand and 96% in Oslo; in the four cities, tree canopy cover as a % of the built zone is 16% in Bodø, 12% in Bærum, 12% in Kristiansand and 34% in Oslo (Data appendix 9). The proportion of housing units that have less than 300m to the nearest green space is 87% in Bodø, 94% in Bærum, 69% in Kristiansand and 77% in Oslo. As expected, the average figures conceal con-siderable variation within and between cities. Using the US Forestry Service model i-Tree Eco we modelled the following regulating ecosystem services from individual trees: carbon uptake and storage in tree biomass; stormwater management and air purification of the tree canopy; energy savings and avoided CO2 emissions from buildings thanks to local climate regulation of trees. These regulating services are also valued economically. The mapped trees contribute regulatory ecosystem services with a total monetary value of 3,8 million kr/year in Bodø, 42 million kr/year in Bærum, 1,1 million kr/year in Kristiansand og 223 million kr/year in Oslo. In addition, we modelled and mapped the effect of trees on reducing local temperature in outdoor environments (reduction of urban heat islands). The report also maps the visibility of individual trees in urban spaces to visualise the effect of urban trees on "green visibility" from both public and private land. Since tree species and habitat value of urban trees cannot be mapped solely using remote sensing data, we demonstrate a method for field recording of trees with a digital recording app based on the QField software. The app makes it possible to register variables used in the Standard Norway’s method for Valuation of Trees (VAT), including species and selected indicators of habitat value. The main body of the report provides a number of examples of mapping and valuation of urban trees from the four municipalities. Statistics and map appendices provide an overview of maps and databases that have been submitted to the municipalities as part of the project outcomes. Methodological appendices in the report are also publicly available on Github. They are intended for municipal tree management and geodata professionals to update tree crown mapping when new laser data becomes available; to update municipal tree databases with new field registrations, and calculate and map ecosystem services. The final section of the report summarises the different purposes and applications of mapping and valuing urban trees in municipal management, planning and policy. The report summarises experiences from the Swedish i-Tree project and Swedish municipalities use of mapping and valuation of urban trees for different purposes. Finally, we identify knowledge and method needs that can be addressed in future research and development. Erratum: Tables S11 to S33 have corrected table numbering in this version, and formatting errors in the statistics in Tables S6, S7, S11, S12, S18, S19, and S25 have been corrected. Oslo, July 4th 2024Bærum kommune / Bodø, Kristiansand og Oslo kommune