지속 호몰로지를 이용한 토러스 상에서의 범프 헌팅

학위논문(석사) -- 서울대학교대학원 : 자연과학대학 통계학과, 2023. 8. 정성규.Our research aims to identify density modes within the torus space where the circular data exhibits significant concentration. We employ persistent homology, primarily utilising the von Mises kernel density estimator and mixture model. To address the uncertainty inherent in the density estimator's persistent homology, we compare four methods, including a newly proposed approach in this article. Additionally, a scale-space approach is applied. Our comprehensive discussion centers around the implementation of persistent homology on the torus space, considering both theoretical foundations and practical applications.본 연구는 각도 데이터 등 순환하는 자료들이 토러스 공간 위에 있다고 가정하고 그들을 통해 밀도함수의 최빈값(mode)들을 찾음으로써 자료들이 집중적으로 분포된 곳을 탐색함을 목표로 한다. 이를 위해 밀도함수를 폰 미시스(von Mises) 커널 밀도함수 추정량과 혼합 모형을 이용하여 추정하고 이들을 통해 지속 호몰로지(persistent homology) 방법을 사용할 것이다. 밀도함수 대신 추정량을 사용함으로 파생된 지속 호몰로지의 불확실성을 계량하기 위해 우리는 네 가지 방법을 비교할 것인데, 그 중 셋은 선행연구에서 제시된 것이고, 하나는 우리가 이 연구를 통해 새롭게 제시하는 방법이다. 또한 기존 위상학적 자료 분석 선행연구에서 제시된 측도모수공간 방법(scale-space approach)을 적극적으로 활용하여 여러 측도모수에 의한 밀도함수 추정량 최빈값들, 지속 호몰로지와 그 유의성의 변화를 살펴볼 것이다. 이러한 연구는 이론적인 내용뿐만 아니라 현존하는 데이터들을 이용한 실험을 통해 그 유용성을 검증하는 절차도 포함하고 있다.1 Introduction 1 Significance and Contribution of This Paper 2 2 Definitions and Backgrounds 4 1 Torus Space 4 2 Persistent Homology 4 3 Confidence Sets for Persistent Homology 6 3 Calculating Persistent Homology 9 1 Density Estimation on the Torus 9 1. Kernel Density Estimator 9 2. Elliptical Mixture Model 11 2 Uncertainty Measurement of Persistence Diagram 14 1. Bootstrap Method 15 2. Finite Sample Method 20 3. A Scale Space Approach 23 4 Experiments 25 5 Conclusion and Discussions 29 Appendix 30 References 31 국문초록 35석