Estudo de parâmetros do método Multigrid geométrico para equações 2D em CFD e volumes finitos

Orientador : Prof. Dr. Carlos Henrique MarchiCoorientadores : Prof. Dr. Marcio Augusto Villela Pinto, Prof. Dr. Luciano Kiyoshi ArakiTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Defesa: Curitiba, 26/02/2013Inclui referênciasÁrea de concentração: Fenômenos de transporte e mecânica dos sólidosResumo: A influencia de alguns parametros do metodo multigrid geometrico sobre o tempo de CPU para tres diferentes modelos matematicos bidimensionais do escopo da CFD (Computational Fluid Dynamics) e investigada. Os modelos matematicos sao: a equacao de Laplace, a equacao de Adveccao-Difusao e as Equacoes de Burgers. Os parametros em estudo sao: numero de iteracoes internas do solver (ƒË); numero de malhas (L); numero de incognitas (N); solvers e operadores de prolongacao. O multigrid e empregado com esquema FAS (Full Approximation Scheme) e tecnica FMG (Full Multigrid) com ciclo V e razao de engrossamento r = 2. As equacoes diferenciais sao discretizadas pelo Metodo dos Volumes Finitos (MVF) em geometrias simples e malhas bidimensionais uniformes por direcao, com aproximacoes de 2a ordem CDS e correcao adiada. As condicoes de contorno, do tipo Dirichlet, sao aplicadas mediante a tecnica de volumes ficticios. Os sistemas de equacoes algebricas sao resolvidos com o emprego do solver Gauss-Seidel Lexicografico (GS-Lex) e, no caso do problema de Burgers, tambem com o emprego do Gauss-Seidel red-black (GS-RB). Verificou-se principalmente que: o esquema FAS-FMG e cerca de duas vezes mais rapido do que o FAS padrao; que o numero de equacoes ou complexidade do problema nao interfere na eficiencia do multigrid; que o operador de prolongacao bilinear e o mais eficiente para interpolar as solucoes entre os niveis do FMG. Palavras-chave: Dinamica dos fluidos computacional. Multigrid. Volumes finitos. Metodos numericos. Equacoes de Burgers.This work investigates the influence of some parameters from the Multigrid Geometric method over CPU processing time for three different mathematical bidimensional methods that make up the Computational Fluid Dynamics scope. These mathematical models are: Laplace equation, Advection-Diffusion equation and Burgers' equations. In order to achieve the main target, which consists on optimize the employed algorithms to solve the problems above, the computational time minimization is sought through parameters modifications at the algorithms. The considered parameters are: number of solver's internal iteration (v); number of grids (L); number of incognites (N); solvers and prolongation operators. The multigrid is employed besides FAS (Full Approximation Scheme) and FMG (Full Multigrid) technique, with V cycle and coarsening ratio r = 2. The differential equations discretization is made by the Finite Volume Method (MVF) over simple geometries and direction uniform bidimensional grids, with second order CDS and delayed correction. The Dirichlet type boundary conditions are applied through fictitious volume technique. The system of algebraic equations are solved by the Gauss-Seidel Lexicographic (GS-Lex) solver and, at the Burgers problem, the Gauss-Seidel red-black (GS-RB) is also employed. The main results that should be emphasized are: the FAS-FMG scheme is about twice faster than the standard FAS; the multigrid efficiency ate not affected by the number of equations or complexity of the problem; the bilinear prolongation operator is the most efficient to interpolate the solution among the FMG levels. Keywords: computational fluid dynamics. Multigrid. Finite volume method. Numerical methods. Burgers' Equation

Estudo de parâmetros do método multigrid geométrico para equações 2D em CFD usando malhas curvilíneas estruturadas não ortogonais

Orientador: Prof. Dr. Luciano Kiyoshi ArakiCoorientador: Prof. Dr. Marcio Augusto Villela PintoTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia. Defesa : Curitiba, 13/11/2019Inclui referências: p. 120-126Área de concentração: Mecânica ComputacionalResumo: Muitos problemas de Engenharia estao relacionados a geometrias em que o uso de um sistema de coordenadas cartesianas, cilindicas ou esfericas nao se mostra pratico ou adequado, sendo preferivel, por exemplo, empregar malhas curvilineas estruturadas. A influencia de alguns parametros do metodo multigrid geometrico sobre o tempo da Unidade Central de Processamento (CPU) na resolucao de problemas de Dinamica dos Fluidos Computacional usando malhas curvilineas estruturadas nao ortogonais foi investigada. Os parametros investigados sao o numero de iteracoes internas do solver (?), o numero das malhas (L), o numero de incognitas (N) e os metodos Gauss-Seidel com ordenacao lexicografica (GS-Lex), Gauss-Seidel linha em ? (?-linha-GS), Modified Strongly Implicit (MSI) e decomposicao LU incompleta modificada (MILU). Para a geracao de malhas curvilineas estruturadas nao ortogonais foram empregados metodos que utilizam interpolacao de Lagrange e sistema de equacoes diferenciais elipticas. As equacoes diferenciais foram discretizadas usando Metodo dos Volumes Finitos com esquema de aproximacao central de segunda ordem e correcao adiada. As condicoes de contorno, do tipo Dirichlet, foram aplicadas mediante a tecnica de volumes ficticios. Para a resolucao do sistema de equacoes algebricas resultante da discretizacao, foi utilizado o metodo multigrid geometrico com esquema de aproximacao completa, ciclo V e razao de engrossamento padrao. Os estudos do efeito dos parametros ?, L e N e dos solvers GS-Lex, ?-linha-GS, MSI e MILU no tempo da CPU se deram para problemas com tamanhos ate 4096 × 4096. Verificou-se principalmente que: entre os suavizadores empregados, os solvers MSI e MILU produzem algoritmos mais eficientes para os problemas estudados; o numero de iteracoes internas que obteve o melhor desempenho medio para o problema de Poisson para malhas geradas usando interpolacao de Lagrange e equacoes elipticas, e diferente, porem e o mesmo para o problema de Burgers para ambos os geradores de malhas e o solver MSI; o numero de niveis de malha que obteve o melhor desempenho medio para o problema de Poisson para malhas geradas usando interpolacao de Lagrange e equacoes elipticas, tambem e diferente, porem, e igual ao numero maximo menos um para o problema de Burgers para ambos os geradores de malhas e o solver MSI; o solver MSI e mais rapido que o MILU para ambos os geradores de malha; e as solucoes sao mais acuradas para o problema de Burgers com malhas geradas usando equacoes elipticas. Palavras-chave: Dinamica dos Fluidos Computacional. Metodo dos Volumes Finitos. Malhas curvilineas nao ortogonais. Multigrid geometrico. Equacao de Poisson. Equacoes de Burgers.Abstract: Many Engineering problems are related to geometries in which the use of a cartesian, cylindrical or spherical coordinate system is not practical or suitable, and it is preferable, for example, to employ structured curvilinear grids. The influence of some parameters of the geometric multigrid method on the time of the Central Processing Unit (CPU) in the solving Computational Fluid Dynamics problems with the use of non-orthogonal structured curvilinear grids was investigated. The parameters number of inner iterations of the solver (?), number of grids (L) and number of unknowns (N), as well as the solvers, lexicographical Gauss-Seidel (Lex-GS), ?-line Gauss-Seidel (?-line-GS), Modified Strongly Implicit (MSI) and modified incomplete LU decomposition (MILU) were assessed. Methods which employs Lagrange interpolation and elliptic equations system were used to generate the non-orthogonal structured curvilinear grids. The differential equations were discretized by Finite Volume Method with second-order approximation Central Differencing Scheme and deferred correction. Dirichlet boundary conditions were employed according to the ghost cell approach. Geometric multigrid method with Full Approximation Scheme, V-cycle and standard coarsening ratio was used to solve the system of algebraic equations that resulted from the discretization of equations. Problems up to size 4096 × 4096 volumes were employed in the study of the influence of the aforementioned parameters ?, L e N as well as the Lex-GS, ?-line-GS, MSI and MILU solvers on the CPU time. The main results that should be emphasized are: from the solvers employed, MSI and MILU are the most efficient for the problems assessed; the number of inner iterations of the solver that obtained the best average performance for the Poisson problem for grids generated using Lagrange interpolation and elliptic equations, is different, however it has same for the Burgers problem for both grids generators and the MSI solver; the number of grids levels that obtained the best average performance for the Poisson problem for grids generated using Lagrange interpolation and elliptic equations is also different, though it is equal to the maximum number minus one for the Burgers problem for both grids generators and the MSI solver; MSI solver is faster than MILU for both grids generators; and the solutions are more accurate for the Burgers problem with grids generated using elliptic equations. Keywords: Computational Fluid Dynamics. Finite volume method. Non-orthogonal curvilinear grids. Geometric multigrid. Poisson equation. Burgers equations