Tournois sans intervalle acyclique.

Un intervalle X d'un tournoi T est un ensemble de sommets de T tel que tout sommet extérieur à X domine ou est dominé par tous les sommets de X. Nous caractérisons les tournois dont tous les intervalles acycliques non vides sont des singletons et qui sont critiques pour cette propriété, c'est-à-dire que la suppression d'un sommet quelconque du tournoi donne naissance à au moins un intervalle acyclique de plus de 2 sommets. Ces tournois sont exactement ceux construits comme la composition d'un tournoi quelconque avec des tournois circulants. Ce travail sur les intervalles acycliques a été motivé par la recherche de structures ordonnées dans des tournois pour lesquels aucun ordre médian ne s'impose naturellement

Convex circuit free coloration of an oriented graph

We introduce the \textit{convex circuit-free coloration} and \textit{convex circuit-free chromatic number} $\overrightarrow{\chi_a}(\overrightarrow{G})$ of an oriented graph $\overrightarrow{G}$ and establish various basic results. We show that the problem of deciding if an oriented graph verifies $\chi_a( \overrightarrow{G}) \leq k$ is NP-complete if $k \geq 3$ and polynomial if $k \leq 2$. We exhibit an algorithm which finds the optimal convex circuit-free coloration for tournaments, and characterize the tournaments that are \textit{vertex-critical} for the convex circuit-free coloration