Bisect and Conquer: Hierarchical Clustering via Max-Uncut Bisection

Hierarchical Clustering is an unsupervised data analysis method which has been widely used for decades. Despite its popularity, it had an underdeveloped analytical foundation and to address this, Dasgupta recently introduced an optimization viewpoint of hierarchical clustering with pairwise similarity information that spurred a line of work shedding light on old algorithms (e.g., Average-Linkage), but also designing new algorithms. Here, for the maximization dual of Dasgupta's objective (introduced by Moseley-Wang), we present polynomial-time .4246 approximation algorithms that use Max-Uncut Bisection as a subroutine. The previous best worst-case approximation factor in polynomial time was .336, improving only slightly over Average-Linkage which achieves 1/3. Finally, we complement our positive results by providing APX-hardness (even for 0-1 similarities), under the Small Set Expansion hypothesis

Algoritmos paralelos para árvores de cortes e medidas de centralidade em grafos

Resumo: Uma árvore de cortes é uma representação compacta da aresta-conectividade de um grafo não orientado. As árvores de cortes resolvem de maneira eficiente o problema de calcular a arestaconectividade entre todos os pares de vértices do grafo. As árvores de cortes têm muitas aplicações como, por exemplo, no projeto de redes confiáveis, na partição de grafos, no agrupamento em grafos, na análise de redes sociais, dentre outras. Dois algoritmos para a construção de árvores de cortes de grafos não orientados e capacitados são bem conhecidos: o algoritmo de Gomory-Hu e o algoritmo de Gusfield. Este trabalho apresenta propostas de implementações paralelas de três algoritmos para encontrar uma árvore de cortes. Versões paralelas para os algoritmos de Gusfield e de Gomory-Hu são descritas e avaliadas experimentalmente. Um algoritmo híbrido que combina esses dois algoritmos e que busca tirar proveito das vantagens de cada um deles também é apresentado. Resultados experimentais mostram que os três algoritmos apresentam boas acelerações nos tempos de execução. Os experimentos também mostram que o algoritmo híbrido é quase sempre mais rápido do que o algoritmo de Gomory-Hu e em certas instâncias ele é muito mais rápido do que o algoritmo de Gusfield. Heurísticas para a melhoria do algoritmo de Gomory-Hu e do algoritmo híbrido são propostas e analisadas. Na segunda parte desta tese, são estudadas medidas de centralidade dos vértices de um grafo que são baseadas na conectividade - algumas delas podem ser calculadas a partir de árvores de cortes. As medidas de centralidade de vértices têm como objetivo quantificar a importância dos vértices de um grafo com base em diferentes critérios. Dentre as medidas de centralidade propostas, destaca-se a i-aresta-conectividade, que mede a aresta-conectividade dos vértices em relação ao grafo. Uma medida de conectividade baseada em cortes de vértices também é proposta. Um estudo experimental com as medidas de conectividade foi executado para avaliar a relação das medidas propostas com outras medidas de centralidade mais conhecidas. Esse estudo mostra empiricamente que vértices com alta conectividade tendem a ter baixa excentricidade. Além disso, experimentos mostram que as medidas de conectividade não são equivalentes ao grau como critério de ordenação dos vértices