The space–time CE/SE method for solving ultra-relativistic Euler equations

This paper reports the application of space–time conservation element and solution element (CE/SE) method for solving one- and two-dimensional special ultra-relativistic Euler equations. For a sufficiently large internal energy of fluid particles the rest-mass energy of the fluid can be ignored. Then, the fluid flow can be modeled by ultra-relativistic Euler equations consisting a pair of coupled first-order non-linear hyperbolic partial differential equations. The governing equations describe the flow of a perfect fluid in terms of the particle density ρ, the spatial part of the four-velocity u and the pressure p. The CE/SE method is capable to accurately captures the sharp propagating wavefront of relativistic fluid without excessive numerical diffusion or spurious oscillations. In contrast to the existing upwind finite volume schemes, the Riemann solver and reconstruction procedure are not the building block of the suggested method. The method differs from the previous techniques because of global and local flux conservation in a space–time domain without resorting to interpolation or extrapolation. In order to reveal the efficiency and performance of the approach, several numerical test cases are presented in this manuscript. For validation, the results of current method are compared with other finite-volume schemes. Copyright © 2011 Elsevier B.V. All rights reserved. [accessed 27th May 2011

Método dos elementos de conservação espacial-temporal de alta ordem e alta resolução para a solução de problemas hiperbólicos

Orientadora : Profª. Drª. Liliana Madalena GramaniCoorientadora : Profª. Drª. Eloy KaviskiTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia. Defesa: Curitiba, 03/08/2017Inclui referências : p. 113-121Resumo: Esta tese aborda o desenvolvimento de esquemas numéricos explícitos por meio do método dos elementos de conservação espacial-temporal aplicados em problemas hiperbólicos. O método, desenvolvido originalmente para leis de conservação de primeira ordem no tempo, é estendido a equações com derivadas de segunda ordem temporal e aplicado à equação da onda. Para o caso da onda elástica unidimensional sob condições de contorno naturais ou essenciais, um esquema numérico com resposta analítica foi obtido. Uma classe de problemas de ondas não-lineares unidimensionais foi estudada e soluções do tipo D'Alembert foram construídas. No sentido de ampliar a estratégia ao caso bidimensional, uma formulação híbrida foi construída ao utilizar-se, conjuntamente, a Transformada de Fourier. Desenvolveu-se, também, esquemas de alta ordem para a solução numérica das equações hiperbólicas de Saint-Venant em uma e duas dimensões. A estratégia para o aumento de ordem consiste em aumentar o grau dos polinômios presentes nas funções de base, o que resultou em um esquema com precisão de terceira ordem. Os vários experimentos numéricos realizados demonstram a eficiência dos esquemas desenvolvidos, sobretudo no que tange a problemas com descontinuidades e formação de choque, como o caso não-linear. Palavras-chaves: Método de Conservação Espacial-Temporal. Equações Hiperbólicas. Esquema de Alta Ordem e Alta Resolução. Volumes de Controle.Abstract: This thesis addresses the development of explicit numerical schemes using the space-time conservation element and solution element method applied to hyperbolic problems. The method, developed for first-order conservation laws, is extended to equations with second-order temporal derivatives and applied to the wave equation. For the one-dimensional elastic wave under natural or essential boundary conditions, a numerical scheme with analytical properties was obtained. A class of one-dimensional nonlinear wave problems was studied and D'Alembert type solutions were constructed. In order to extend the strategy to the two-dimensional case, a hybrid formulation was constructed using the Fourier Transform. High-order schemes are also developed for the numerical solution of the one- and two-dimensional Saint-Venant equations. The strategy to increase order consists of considering polynomials of higher degrees in the base functions, which resulted in a third order accuracy scheme. The numerical experiments performed demonstrate the efficiency of the developed schemes, especially with regard to problems with discontinuities and shock formation, such as the nonlinear case. Key-words: Space-Time Conservation Element and Solution Element Method. Hyperbolic Equations. High Order and High Resolution Numerical Schemes. Control Volumes