The error term of quadrature formulae for analytic functions

Σε συγκεκριμένους χώρους αναλυτικών συναρτήσεων, ο όρος σφάλματος ενός τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησιακό. Σκοπός της εργασίας είναι να προσφέρει τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται ώστε να υπολογιστεί ακριβώς η νόρμα αυτού του συναρτησιακού, η οποία, τελικά, θα χρησιμοποιηθεί με κύριο στόχο την επίτευξη εκτιμήσεων για τον όρο σφάλματος. Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μια εισαγωγή στα ορθογώνια πολυώνυμα, παρουσιάζοντας μερικές από τις πιο σημαντικές τους ιδιότητες και κάνοντας μια ειδική αναφορά στα πολυώνυμα του Chebyshev. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης, επικεντρώνοντας, κυρίως, στους τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης τους Gauss, μαζί με κάποιες αξιοσημείωτες ιδιότητες, οι οποίες επιδεικνύουν την ανωτερότητα τους σε σύγκριση με άλλους τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης. Αυτό το κεφάλαιο κλείνει με την κατασκευή του τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Chebyshev του πρώτου, δεύτερου, τρίτου και τέταρτου είδους. Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην εκτίμηση του σφάλματος σε τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss για αναλυτικές συναρτήσεις, το οποίο επιτυγχάνεται με μέθοδούς σε χώρους Hilbert ή με τεχνικές επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο, πραγματοποιήθηκαν κάποια αριθμητικά παραδείγματα, τα οποία υποδεικνύουν την αποτελεσματικότητα των φραγμάτων του προηγούμενου κεφαλαίου.In certain spaces of analytic functions, the error term of a quadrature formula is a bounded linear functional. The purpose of this thesis is to provide the methods used in order to compute explicitly the norm of the error functional, which subsequently can be used in order to derive estimates for the error term. In the first chapter, an introduction is made to orthogonal polynomials, presenting some of their most important properties and making a special reference to Chebyshev polynomials. The second chapter deals with quadrature formulae, focusing, mainly, on Gauss quadrature formulae, along with some crucial properties, which indicate their superiority compared to other quadrature formulae. This chapter concludes with the computation of the nodes and weights of the Gauss-Chebyshev quadrature formula of any of the four kinds. The third chapter is dedicated to estimating the error in Gauss quadrature formulae for analytic functions, which is done by Hilbert space methods or contour integration techniques. Finally, in the fourth chapter, some numerical experiments are carried out, which demonstrate the effectiveness of the bounds obtained in the previous chapter

Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis?

We consider the question of whether Gauss quadrature, which is very famous, is more powerful than the much simpler Clenshaw-Curtis quadrature, which is less well-known. Seven-line MATLAB codes are presented that implement both methods, and experiments show that the supposed factor-of-2 advantage of Gauss quadrature is rarely realized. Theorems are given to explain this effect. First, following Elliott and O'Hara and Smith in the 1960s, the phenomenon is explained as a consequence of aliasing of coefficients in Chebyshev expansions. Then another explanation is offered based on the interpretation of a quadrature formula as a rational approximation of $\log((z+1)/(z-1))$ in the complex plane. Gauss quadrature corresponds to Pad\'e approximation at $z=\infty$. Clenshaw-Curtis quadrature corresponds to an approximation whose order of accuracy at $z=\infty$ is only half as high, but which is nevertheless equally accurate near $[-1,1]$

Defect correction from a galerkin viewpoint

We consider the numerical solution of systems of nonlinear two point boundary value problems by Galerkin's method. An initial solution is computed with piecewise linear approximating functions and this is then improved by using higher—order piecewise polynomials to compute defect corrections. This technique, including numerical integration, is justified by typical Galerkin arguments and properties of piecewise polynomials rather than the traditional asymptotic error expansions of finite difference methods

The geometric mean of two matrices from a computational viewpoint

The geometric mean of two matrices is considered and analyzed from a computational viewpoint. Some useful theoretical properties are derived and an analysis of the conditioning is performed. Several numerical algorithms based on different properties and representation of the geometric mean are discussed and analyzed and it is shown that most of them can be classified in terms of the rational approximations of the inverse square root functions. A review of the relevant applications is given