4 research outputs found
Refined estimates on the clique number of generalized Paley graphs
We show that the clique number of the -Paley graph of order is at most
, where is an odd power of a prime . This
significantly improves the best-known generic upper bound and
matches with the bound for primes in a recent
breakthrough work of Hanson and Petridis. Moreover, our new bound is
asymptotically sharp for an infinite family of graphs, which leads to the
further discovery of the first nontrivial instance of families of generalized
Paley graphs where the clique number can be explicitly determined. One key
ingredient in our proof is a new lower bound on the number of directions
determined by a Cartesian product in the affine Galois plane , which
is of independent interest.Comment: 11 pages, comments welcom
Subspace coverings with multiplicities
We study the problem of determining the minimum number of affine
subspaces of codimension that are required to cover all points of
at least times while covering the
origin at most times. The case is a classic result of Jamison,
which was independently obtained by Brouwer and Schrijver for . The
value of also follows from a well-known theorem of Alon and F\"uredi
about coverings of finite grids in affine spaces over arbitrary fields. Here we
determine the value of this function exactly in various ranges of the
parameters. In particular, we prove that for we have
, while for we have , and also study the
transition between these two ranges. While previous work in this direction has
primarily employed the polynomial method, we prove our results through more
direct combinatorial and probabilistic arguments, and also exploit a connection
to coding theory.Comment: 15 page
Minimal Ramsey graphs, orthogonal Latin squares, and hyperplane coverings
This thesis consists of three independent parts.
The first part of the thesis is concerned with Ramsey theory. Given an integer , a graph is said to be \emph{-Ramsey} for another graph if in any -edge-coloring of there exists a monochromatic copy of . The central line of research in this area investigates the smallest number of vertices in a -Ramsey graph for a given . In this thesis, we explore two different directions. First, we will be interested in the smallest possible minimum degree of a minimal (with respect to subgraph inclusion) -Ramsey graph for a given . This line of research was initiated by Burr, Erdős, and Lovász in the 1970s. We study the minimum degree of a minimal Ramsey graph for a random graph and investigate how many vertices of small degree a minimal Ramsey graph for a given can contain. We also consider the minimum degree problem in a more general asymmetric setting. Second, it is interesting to ask how small modifications to the graph affect the corresponding collection of -Ramsey graphs. Building upon the work of Fox, Grinshpun, Liebenau, Person, and Szabó and Rödl and Siggers, we prove that adding even a single pendent edge to the complete graph changes the collection of 2-Ramsey graphs significantly.
The second part of the thesis deals with orthogonal Latin squares. A {\em Latin square of order } is an array with entries in such that each integer appears exactly once in every row and every column. Two Latin squares and are said to be {\em orthogonal} if, for all , there is a unique pair such that and ; a system of {\em mutually orthogonal Latin squares}, or a {\em -MOLS}, is a set of pairwise orthogonal Latin squares. Motivated by a well-known result determining the number of different Latin squares of order log-asymptotically, we study the number of -MOLS of order . Earlier results on this problem were obtained by Donovan and Grannell and Keevash and Luria. We establish new upper bounds for a wide range of values of . We also prove a new, log-asymptotically tight, bound on the maximum number of other squares a single Latin square can be orthogonal to.
The third part of the thesis is concerned with grid coverings with multiplicities. In particular, we study the minimum number of hyperplanes necessary to cover all points but one of a given finite grid at least times, while covering the remaining point fewer times. We study this problem for the grid , determining the number exactly when one of the parameters and is much larger than the other and asymptotically in all other cases. This generalizes a classic result of Jamison for . Additionally, motivated by the recent work of Clifton and Huang and Sauermann and Wigderson for the hypercube , we study hyperplane coverings for different grids over , under the stricter condition that the remaining point is omitted completely. We focus on two-dimensional real grids, showing a variety of results and demonstrating that already this setting offers a range of possible behaviors.Diese Dissertation besteht aus drei unabh\"angigen Teilen.
Der erste Teil beschäftigt sich mit Ramseytheorie. Für eine ganze Zahl nennt man einen Graphen \emph{-Ramsey} f\"ur einen anderen Graphen , wenn jede Kantenf\"arbung mit Farben einen einfarbigen Teilgraphen enthält, der isomorph zu ist. Das zentrale Problem in diesem Gebiet ist die minimale Anzahl von Knoten in einem solchen Graphen zu bestimmen. In dieser Dissertation betrachten wir zwei verschiedene Varianten. Als erstes, beschäftigen wir uns mit dem kleinstm\"oglichen Minimalgrad eines minimalen (bezüglich Teilgraphen) -Ramsey-Graphen f\"ur einen gegebenen Graphen . Diese Frage wurde zuerst von Burr, Erd\H{o}s und Lov\'asz in den 1970er-Jahren studiert. Wir betrachten dieses Problem f\"ur einen Zufallsgraphen und untersuchen, wie viele Knoten kleinen Grades ein Ramsey-Graph f\"ur gegebenes enthalten kann. Wir untersuchen auch eine asymmetrische Verallgemeinerung des Minimalgradproblems. Als zweites betrachten wir die Frage, wie sich die Menge aller -Ramsey-Graphen f\"ur verändert, wenn wir den Graphen modifizieren. Aufbauend auf den Arbeiten von Fox, Grinshpun, Liebenau, Person und Szabó und Rödl und Siggers beweisen wir, dass bereits der Graph, der aus mit einer h\"angenden Kante besteht, eine sehr unterschiedliche Menge von 2-Ramsey-Graphen besitzt im Vergleich zu .
Im zweiten Teil geht es um orthogonale lateinische Quadrate. Ein \emph{lateinisches Quadrat der Ordnung } ist eine -Matrix, gef\"ullt mit den Zahlen aus , in der jede Zahl genau einmal pro Zeile und einmal pro Spalte auftritt. Zwei lateinische Quadrate sind \emph{orthogonal} zueinander, wenn f\"ur alle genau ein Paar existiert, sodass es und gilt. Ein \emph{k-MOLS der Ordnung } ist eine Menge von lateinischen Quadraten, die paarweise orthogonal sind. Motiviert von einem bekannten Resultat, welches die Anzahl von lateinischen Quadraten der Ordnung log-asymptotisch bestimmt, untersuchen wir die Frage, wie viele -MOLS der Ordnung es gibt. Dies wurde bereits von Donovan und Grannell und Keevash und Luria studiert. Wir verbessern die beste obere Schranke f\"ur einen breiten Bereich von Parametern . Zusätzlich bestimmen wir log-asymptotisch zu wie viele anderen lateinischen Quadraten ein lateinisches Quadrat orthogonal sein kann.
Im dritten Teil studieren wir, wie viele Hyperebenen notwendig sind, um die Punkte eines endlichen Gitters zu überdecken, sodass ein bestimmter Punkt maximal -mal bedeckt ist und alle andere mindestens -mal. Wir untersuchen diese Anzahl f\"ur das Gitter asymptotisch und sogar genau, wenn eins von und viel größer als das andere ist. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Jamison für den Fall . Au{\ss}erdem betrachten wir dieses Problem f\"ur Gitter im reellen Vektorraum, wenn der spezielle Punkt überhaupt nicht bedeckt ist. Dies ist durch die Arbeiten von Clifton und Huang und Sauermann und Wigderson motiviert, die den Hyperwürfel untersucht haben. Wir konzentrieren uns auf zwei-dimensionale Gitter und zeigen, dass schon diese sich sehr unterschiedlich verhalten können