The descriptive complexity approach to LOGCFL

Building upon the known generalized-quantifier-based first-order characterization of LOGCFL, we lay the groundwork for a deeper investigation. Specifically, we examine subclasses of LOGCFL arising from varying the arity and nesting of groupoidal quantifiers. Our work extends the elaborate theory relating monoidal quantifiers to NC1 and its subclasses. In the absence of the BIT predicate, we resolve the main issues: we show in particular that no single outermost unary groupoidal quantifier with FO can capture all the context-free languages, and we obtain the surprising result that a variant of Greibach's ``hardest context-free language'' is LOGCFL-complete under quantifier-free BIT-free projections. We then prove that FO with unary groupoidal quantifiers is strictly more expressive with the BIT predicate than without. Considering a particular groupoidal quantifier, we prove that first-order logic with majority of pairs is strictly more expressive than first-order with majority of individuals. As a technical tool of independent interest, we define the notion of an aperiodic nondeterministic finite automaton and prove that FO translations are precisely the mappings computed by single-valued aperiodic nondeterministic finite transducers.Comment: 10 pages, 1 figur

On Second-Order Monadic Monoidal and Groupoidal Quantifiers

We study logics defined in terms of second-order monadic monoidal and groupoidal quantifiers. These are generalized quantifiers defined by monoid and groupoid word-problems, equivalently, by regular and context-free languages. We give a computational classification of the expressive power of these logics over strings with varying built-in predicates. In particular, we show that ATIME(n) can be logically characterized in terms of second-order monadic monoidal quantifiers

Counting with majority quantifiers

Työssä tarkastellaan majoriteettikvanttorien ilmaisuvoimaa sanamallien kontekstissa. Kuten eksistenssikvanttori (∃) ja universaalikvanttori (∀), majoriteettikvanttori on looginen kvanttori. Sillä voidaan ilmaista väitteen pätevän yli puolelle tarkasteltavan mallin perusjoukon alkioista. Deskriptiivisen vaativuusteorian näkökulmasta uniformi TC⁰-piirivaativuusluokka vastaa ensimmäisen kertaluvun logiikkaa yhteenlaskulla, kertolaskulla ja majoriteettikvanttorilla varustettuna. Työssä tutkitaan TC⁰-luokan sisäistä rakennetta rajoittamalla tarkastelu loogiseen fragmenttiin, jossa käyttettävissä on vain majoriteettikvanttori ja järjestysrelaatio. Työssä osoitetaan, että sekä eksistenssi- että universaalikvanttoria voidaan simuloida majoriteettikvanttorin ja järjestysrelaation avulla. Myös yhteenlasku ja perusjoukon parillisuus ovat ilmaistavissa. Sen sijaan kertolasku ei ole ilmastavissa yksipaikkaisella majoriteettikvanttorilla. Lisäksi työssä osoitetaan, että kertolasku voidaan ilmaista kaksipaikkaisella majoriteettikvanttorilla. Tästä seuraa, että kaksipaikkainen majoriteettikvanttori on aidosti voimakkaampi kuin yksipaikkainen majoriteettikvanttori

Logic Meets Algebra: the Case of Regular Languages

The study of finite automata and regular languages is a privileged meeting point of algebra and logic. Since the work of Buchi, regular languages have been classified according to their descriptive complexity, i.e. the type of logical formalism required to define them. The algebraic point of view on automata is an essential complement of this classification: by providing alternative, algebraic characterizations for the classes, it often yields the only opportunity for the design of algorithms that decide expressibility in some logical fragment. We survey the existing results relating the expressibility of regular languages in logical fragments of MSO[S] with algebraic properties of their minimal automata. In particular, we show that many of the best known results in this area share the same underlying mechanics and rely on a very strong relation between logical substitutions and block-products of pseudovarieties of monoid. We also explain the impact of these connections on circuit complexity theory.Comment: 37 page

Formaalien kielten vaativuusteoriaa ja pelillistämistä

Tutkielmassa tarkastellaan säännöllisten, kontekstivapaiden ja konjunktiivisten kielten vaativuusteoriaa sekä semanttisia pelejä. Tutkielman alussa esitellään tarvittavia käsitteitä ja merkintöjä formaaleista kielistä, malliteoriasta sekä loogikoista. Tutkielma etenee tarkastellen kutakin kieliperhettä omassa kappaleessaan. Säännöllisten kielten kappaleessa määritellään säännöllisten kielten semanttinen peli eli pelin, joka karakterisoi säännölliset kielet, ja osoitetaan pelin korrektius. Tämän jälkeen tarkastellaan säännöllisten kielten Ehrenfeucht–Fraïssé-peliä. Tunnettuun säännöllisten kielten loogiseen krakterisointiin ei tässä tutkielmassa paneuduta, vaan se oletetaan tunnetuksi. Säännöllisten kielten jälkeen tarkastellaan kontekstivapaita kieliä. Kontekstivapaille kielille määritellään vastaava semanttinen peli, joka osoittautuu huomattavasti monimutkaisemmaksi kuin säännöllisten kielten semanttinen peli. Tämän jälkeen tarkastellaan kontekstivapaiden kielten vaativuusteoriaa ja loogista karakterisointia pinoautomaattien kautta. Tutkielman lopussa tarkastellaan konjunktiivisten kielten semanttista peliä ja automaatioteoriaa. Tutkielmassa osoitetaan yhteys usean kulun pinoautomaatin ja yksinkertaistetun synkronoidun vuorottelevan pinoautomaatin välillä. Lisäksi annetaan looginen karakterisointi kojunktiivisten kielten aliluokalle BC+(CFL), joka on kontekstivapaiden kielten sulkeuma yhdisteen ja leikkauksen suhteen