Generalized Pascal triangles to binomial coefficients of finite words

We introduce a generalization of Pascal triangle based on binomial coefficients of finite words. These coefficients count the number of times a word appears as a subsequence of another finite word. Similarly to the Sierpinski gasket that can be built as the limit set, for the Hausdorff distance, of a convergent sequence of normalized compact blocks extracted from Pascal triangle modulo 2, we show the existence of a subset of [0, 1]×[0, 1] associated with this extended Pascal triangle modulo a prime p

Topologie pp-adique sur les mots

This is a survey article on the combinatorial aspects of the p-adic metric and p-adic topology on words. We give several equivalent definitions of these notions, illustrated by several examples and properties. After giving a detailed description of the open sets, we prove that the p-adic metric is uniformly equivalent with a metric based on the binomial coefficients defined on words. We also give two examples of converging sequences for the p-adic topology. The first example consists of the sequence of the pn powers of a given word, that converges to the empty word. The second one consists of the sequence of prefixes of the Prouhet-Thue-Morse word: for each prime number p, on can extract from this sequence a subsequence converging to the empty word in the p-adic topology. Most of the proofs are omitted, apart from the very short ones

Mathématiques Raisonnement quantitatif, Niveaux 6e et 5e

Textbook 'Mathématiques Raisonnement quantitatif, Niveaux 6e et 5e' (Mathematics Quantitative Reasoning for Grades 7-8) in French, approved by the Ministry of Education for use in middle schools in the Republic of Senegal, funded by USAID’s Africa Education Initiative (AEI) Textbooks and Learning Materials Program

Récréations mathématiques, géométrie de situation... De nouveaux outils pour enseigner les mathématiques à la fin du XIXe siècle

International audienceAt the end of the XIXth century, some mathematicians like Charles-Ange Laisant (1841-1920) or Édouard Lucas (1842-1891) develop new ideas about teaching mathematics using innovative tools or original visualizations. These ideas are linked to their interest for recreational games viewed through a mathematical background and other specific problems including combinatory, number theory, algorithms and the “géométrie de situation”... They are studied especially in L'Arithmétique amusante (Lucas, 1895) or the Initiation mathématique (Laisant, 1906), two books addressed to educators in a large sense. We propose to give some examples of these mathematical representations and these ingenious games, explicitly presented by their authors in a didactical scheme. Thus, we talk in particular about : - “l'éventail mystérieux” proposed in order to introduce binary computation - “le vol des grues” and other drawings proposed in order to give visual proofs of particular sums of integers - a singular representation of decomposition of integers into prime numbers using paths in specific drawings - graph of functions, especially linear ones, where pupils can see solutions of meetings problems - the use of chessboards in combinatory and so on... Moreover, several of these approaches could be presented nowadays to students of secondary schools. We discuss the role of visualizations through these experimentations and point out the connections between diagrams and symbolisms. We study the need of arousing curiosity through striking results in order to present new mathematical notions. We also underline the goals of representing processes in certain moments of mathematical learning and the generalizations enabled by many of these presentations, much more than simple recreational questions.</p

Introduction des effets fixes dans un modèle binomial négatif : application à la consommation de médicaments au Canada

Dans ce travail, nous modélisons le nombre de médicaments consommés par les Canadiens en estimant deux modèles de données de comptage en panel. Les données incluent des observations effectuées sur 17 276 individus entre 1994 et 2007. Les modèles de Poisson et binomial négatif à effets fixes sont donc estimés afin de contrôler pour les effets individuels non observés. Allison et Waterman (2002) ont démontré que le modèle binomial négatif conditionnel à effets fixes proposé par Hausman, Hall and Griliches (1984) ne contrôle pas vraiment pour les effets fixes étant donné que le modèle inclut des régresseurs individuels fixes. Malgré cette argumentation, l'estimation de ce modèle, effectuée avec le progiciel Stata en utilisant les données de l'enquête nationale sur la santé de la population au Canada (ENSP), fournit des résultats presque identiques à ceux obtenus avec l'estimation du modèle de Poisson à effets fixes. En effet, une partie de la corrélation de certaines variables explicatives avec l'hétérogénéité inobservée n'existe plus lorsque nous estimons le modèle à effets fixes, comparativement aux modèles à effets aléatoires. Cela fait radicalement changer les effets individuels et prouve alors l'importance de contrôler pour les effets fixes. Wooldridge propose un modèle similaire au modèle binomial négatif à effets fixes. Celui-ci permet de contrôler et d'interpréter les effets du modèle binomial négatif à effets fixes en estimant les effets fixes à l'aide des moyennes des variables explicatives, qui seront introduites dans le modèle binomial négatif. Nous n'aurons donc plus besoin d'utiliser la commande Xtnbreg avec l'option FE (qui s'est révélée non performante) car le modèle alternatif de Wooldridge s'estime en utilisant les options RE ou GEE. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Régression de Poisson, Binomial négatif, Effets fixes, Effets aléatoires