Steps Towards Achieving Distributivity in Formal Concept Analysis

International audienceIn this paper we study distributive lattices in the framework of Formal Concept Analysis (FCA). The main motivation comes from phylogeny where biological derivations and parsimonious trees can be represented as median graphs. There exists a close connection between distributive lattices and median graphs. Moreover, FCA provides efficient algorithms to build concept lattices. However, a concept lattice is not necessarily distributive and thus it is not necessarily a median graph.In this paper we investigate possible ways of transforming a concept lattice into a distributive one, by making use Birkhoff’s representation of distributive lattices. We detail the operation that transforms a reduced context into a context of a distributive lattice. This allows us to reuse the FCA algorithmic machinery to build and to visualize distributive concept lattices, and then to study the associated median graphs

Analyse de Concepts Formels, distributivité et modèles de graphes médians pour la phylogénie

National audienceLa phylogénie est l’étude des relations de parentés entre les êtres vivants. La classification phylogénétique consiste à classer les êtres vivants à partir de données de phylogénie. Traditionnellement, les modèles utilisés pour ce faire sont les arbres phylogénétiques. Ces arbres ne permettent cependant pas de capturer toute la complexité des phénomènes évolutifs. Du fait de cette complexité, plusieurs arbres peuvent convenir. Pour ne pas privilégier de solution particulière, l’utilisation de graphes médians permet d’encoder l’ensemble des arbres dans un graphe particulier, le graphe médian. Les graphes médians ont des liens étroits avec certains types de treillis, une autre structure souvent utilisée en classification. L’Analyse de Concepts Formels (FCA) a fait des treillis de concepts l’objet central d’étude pour des problèmes d’analyse de données. Dans cet article, nous montrons comment utiliser la FCA pour produire des graphes médians, et nous mettons en avant les verrous techniques à franchir

Identifying Non-Sublattice Equivalence Classes Induced by an Attribute Reduction in FCA

The detection of redundant or irrelevant variables (attributes) in datasets becomes essential in different frameworks, such as in Formal Concept Analysis (FCA). However, removing such variables can have some impact on the concept lattice, which is closely related to the algebraic structure of the obtained quotient set and their classes. This paper studies the algebraic structure of the induced equivalence classes and characterizes those classes that are convex sublattices of the original concept lattice. Particular attention is given to the reductions removing FCA's unnecessary attributes. The obtained results will be useful to other complementary reduction techniques, such as the recently introduced procedure based on local congruences

Embedding median graphs into minimal distributive ∨-semi-lattices

International audienceIt is known that a distributive lattice is a median graph, and that a distributive ∨-semi-lattice can be thought of as a median graph i every triple of elements such that the inmum of each couple of its elements exists, has an inmum. Since a lattice without its bottom element is obviously a ∨-semi-lattice, using the FCA formalism, we investigate the following problem: Given a semi-lattice L obtained from a lattice by deletion of the bottom element, is there a minimum distributive ∨-semi-lattice L d such that L can be order embedded into L d ? We give a negative answer to this question by providing a counter example

Formal Concept Analysis Applications in Bioinformatics

Bioinformatics is an important field that seeks to solve biological problems with the help of computation. One specific field in bioinformatics is that of genomics, the study of genes and their functions. Genomics can provide valuable analysis as to the interaction between how genes interact with their environment. One such way to measure the interaction is through gene expression data, which determines whether (and how much) a certain gene activates in a situation. Analyzing this data can be critical for predicting diseases or other biological reactions. One method used for analysis is Formal Concept Analysis (FCA), a computing technique based in partial orders that allows the user to examine the structural properties of binary data based on which subsets of the data set depend on each other. This thesis surveys, in breadth and depth, the current literature related to the use of FCA for bioinformatics, with particular focus on gene expression data. This includes descriptions of current data management techniques specific to FCA, such as lattice reduction, discretization, and variations of FCA to account for different data types. Advantages and shortcomings of using FCA for genomic investigations, as well as the feasibility of using FCA for this application are addressed. Finally, several areas for future doctoral research are proposed. Adviser: Jitender S. Deogu

Société Francophone de Classification (SFC) Actes des 26èmes Rencontres

National audienceLes actes des rencontres de la Société Francophone de Classification (SFC, http://www.sfc-classification.net/) contiennent l'ensemble des contributions,présentés lors des rencontres entre les 3 et 5 septembre 2019 au Centre de Recherche Inria Nancy Grand Est/LORIA Nancy. La classification sous toutes ces formes, mathématiques, informatique (apprentissage, fouille de données et découverte de connaissances ...), et statistiques, est la thématique étudiée lors de ces journées. L'idée est d'illustrer les différentes facettes de la classification qui reflètent les intérêts des chercheurs dans la matière, provenant des mathématiques et de l'informatique

Congruencias y factorización como herramientas de reducción en el análisis de conceptos formales

Desde su introducción a principios de los años ochenta por B. Ganter y R. Wille, el Análisis de Conceptos Formales (FCA, de sus siglas en inglés) ha sido una de las herramientas matemáticas para el análisis de datos que más desarrollo ha experimentado. El FCA es una teoría matemática que determina estructuras conceptuales entre conjuntos de datos. En particular, las bases de datos se interpretan formalmente en esta teoría con la noción de contexto, que viene determinado por un conjunto de objetos, un conjunto de atributos y una relación entre ambos conjuntos. Las herramientas que proporciona el FCA permiten manipular adecuadamente los datos y extraer información relevante de ellos. Una de las líneas de investigación con más importancia es la reducción del conjunto de atributos que contienen estos conjuntos de datos, preservando la información esencial y eliminando la redundancia que puedan contener. La reducción de atributos también ha sido estudiada en otros ambientes, como en la Teoría de Conjuntos Rugosos, así como en las distintas generalizaciones difusas de ambas teorías. En el FCA, se ha demostrado que cuando se lleva a cabo una reducción de atributos de un contexto formal, se induce una relación de equivalencia sobre el conjunto de conceptos del contexto original. Esta relación de equivalencia inducida tiene una particularidad, sus clases de equivalencia tienen una estructura de semirretículo superior con un elemento máximo, es decir, no forman estructuras algebraicas cerradas, en general. En esta tesis estudiamos cómo es posible complementar las reducciones de atributos dotando a las clases de equivalencia con una estructura algebraica cerrada. La noción de congruencia consigue este propósito, sin embargo, el uso de este tipo de relación de equivalencia puede desembocar en una gran pérdida de información debido a que las clases de equivalencia agrupan demasiados conceptos. Para abordar este problema, en esta tesis se introduce una noción debilitada de congruencia que denominamos congruencia local. La congruencia local da lugar a clases de equivalencia con estructura de subretículo convexo, siendo más flexible a la hora de agrupar conceptos pero manteniendo propiedades interesantes desde un punto de vista algebraico. Se presenta una discusión general de los principales resultados relativos al estudio y aplicación de las congruencias locales que se han obtenido a lo largo de la investigación desarrollada durante la tesis. En particular, se introduce la noción de congruencia local junto con un análisis de las propiedades que satisface, así como una relación de orden sobre el conjunto de las clases de equivalencia. Además, realizamos un análisis profundo del impacto que genera el uso de las congruencias locales en el FCA, tanto en el contexto formal como en el retículo de conceptos. En este análisis identificamos aquellas clases de equivalencia de la relación inducida por una reducción de atributos, sobre las cuales actuaría la congruencia local, realizando una agrupación de conceptos diferente para obtener subretículos convexos. Adicionalmente, llevamos a cabo un estudio sobre el uso de las congruencias locales cuando en la reducción de atributos considerada se han eliminado todos los atributos innecesarios del contexto, obtienen resultados interesantes. Presentamos diversos mecanismos que permiten calcular congruencias locales y aplicarlas sobre retículos de conceptos, detallando las modificaciones que se realizan sobre el contexto formal para proporcionar un método de reducción basado en congruencias locales. Por otra parte, otra de las estrategias que nos permite reducir la complejidad del análisis de los contextos formales son los mecanismos de factorización. Los procedimientos utilizados para factorizar permiten dividir un contexto en dos o más subcontextos formales de menor tamaño, pudiéndose estudiar por separado más fácilmente. Se presenta un estudio preliminar sobre la factorización de contextos formales difusos usando operadores modales, que no se ha publicado aún en una revista. Estos operadores modales ya han sido utilizados para extraer subcontextos independientes de un contexto formal clásico obteniéndose así una factorización del contexto original. En esta tesis estudiamos también diversas propiedades que nos ayudan a comprender mejor cómo funciona la descomposición de tablas de datos booleanos, para luego realizar una adaptación de dichas propiedades al marco de trabajo multiadjunto. El estudio de estas propiedades generales en el marco de trabajo multiadjunto será de gran relevancia para poder obtener en el futuro un procedimiento que nos permita factorizar contextos formales multiadjuntos. Por tanto, la obtención de mecanismos de factorización de contextos multiadjuntos será clave para el análisis y tratamiento de grandes bases de dato