3 research outputs found
Subtrees search, cycle spectra and edge-connectivity structures
In the first part of this thesis, we study subtrees of specified weight in a tree with vertex weights . We introduce an overload-discharge method, and discover that there always exists some subtree whose weight is close to ; the smaller the weight of is, the smaller difference between and we can assure. We also show that such a subtree can be found efficiently, namely in linear time. With this tool we prove that every planar Hamiltonian graph with minimum degree has a cycle of length for every with . Such a cycle can be found in linear time if a Hamilton cycle of the graph is given.
In the second part of the thesis, we present three cut trees of a graph, each of them giving insights into the edge-connectivity structure. All three cut trees have in common that they cover a given binary symmetric irreflexive relation on the vertex set of the graph, while generalizing Gomory-Hu trees. With these cut trees we show the following: (i) every simple graph with or with edge-connectivity or with vertex-connectivity contains at least pendant pairs, where a pair of vertices is pendant if ; (ii) every simple graph satisfying has -edge-connected components, and there are only edges left if these components are contracted; (iii) given a simple graph satisfying , one can find some vertex subsets in near-linear time such that all non-trivial min-cuts are preserved, and vertices and edges remain when these vertex subsets are contracted.Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir Teilbäume eines Baumes mit vorgegebenen Knotengewichten . Wir führen eine Overload-Discharge-Methode ein, und zeigen, dass es immer einen Teilbaum gibt, dessen Gewicht nahe liegt. Je kleiner das Gewicht von ist, desto geringer ist dabei die Differenz zwischen und , die wir sicherstellen können. Wir zeigen auch, dass ein solcher Teilbaum effizient, nämlich in Linearzeit, berechnet werden kann. Unter Ausnutzung dieser Methode beweisen wir, dass jeder planare hamiltonsche Graph mit Mindestgrad einen Kreis der Länge für jedes mit enthält. Dieser kann in Linearzeit berechnet werden, falls ein Hamilton-Kreis des Graphen bekannt ist.
Im zweiten Teil der Dissertation stellen wir drei Schnittbäume eines Graphen vor, von denen jeder Einblick in die Kantenzusammenhangsstruktur des Graphen gibt. Allen drei Schnittbäumen ist gemeinsam, dass sie eine bestimmte binäre symmetrische irreflexive Relation auf der Knotenmenge des Graphen überdecken; die Bäume können als Verallgemeinerungen von Gomory-Hu-Bäumen aufgefasst werden. Die Schnittbäume implizieren folgende Aussagen: (i) Jeder schlichte Graph , der oder Kantenzusammenhang oder Knotenzusammenhang erfüllt, enthält mindestens zusammengehörige Paare, wobei ein Paar von Knoten zusammengehörig ist, falls ist. (ii) Jeder schlichte Graph mit hat -kantenzusammenhängende Komponenten, und es verbleiben lediglich Kanten, wenn diese Komponenten kontrahiert werden. (iii) Für jeden schlichten Graphen mit sind Knotenmengen derart effizient berechenbar, dass alle nicht trivialen minimalen Schnitte erhalten bleiben, und Knoten und Kanten verbleiben, wenn diese Knotenmengen kontrahiert werden