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    Some 4-valent, 3-connected, planar, almost pancyclic graphs

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    Subtrees search, cycle spectra and edge-connectivity structures

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    In the first part of this thesis, we study subtrees of specified weight in a tree TT with vertex weights c:V(T)Nc: V(T) \rightarrow \mathbb{N}. We introduce an overload-discharge method, and discover that there always exists some subtree SS whose weight c(S):=vV(S)c(v)c(S) := \sum_{v \in V(S)} c(v) is close to c(T)2\frac{c(T)}{2}; the smaller the weight c(T)c(T) of TT is, the smaller difference between c(S)c(S) and c(T)2\frac{c(T)}{2} we can assure. We also show that such a subtree can be found efficiently, namely in linear time. With this tool we prove that every planar Hamiltonian graph G=(V(G),E(G))G = (V(G), E(G)) with minimum degree δ4\delta \geq 4 has a cycle of length kk for every k{V(G)2,,V(G)2+3}k \in \{\lfloor \frac{|V(G)|}{2} \rfloor, \dots, \lceil \frac{|V(G)|}{2} \rceil + 3\} with 3kV(G)3 \leq k \leq |V(G)|. Such a cycle can be found in linear time if a Hamilton cycle of the graph is given. In the second part of the thesis, we present three cut trees of a graph, each of them giving insights into the edge-connectivity structure. All three cut trees have in common that they cover a given binary symmetric irreflexive relation on the vertex set of the graph, while generalizing Gomory-Hu trees. With these cut trees we show the following: (i) every simple graph GG with δ5\delta \geq 5 or with edge-connectivity λ4\lambda \geq 4 or with vertex-connectivity κ3\kappa \geq 3 contains at least 124δV(G)\frac{1}{24}\delta |V(G)| pendant pairs, where a pair of vertices {v,w}\{v, w\} is pendant if λG(v,w)=min{dG(v),dG(w)}\lambda_G(v,w) = \min\{d_G(v), d_G(w)\}; (ii) every simple graph GG satisfying δ>0\delta > 0 has O(V(G)/δ)O(|V(G)|/\delta) δ\delta-edge-connected components, and there are only O(V(G))O(|V(G)|) edges left if these components are contracted; (iii) given a simple graph GG satisfying δ>0\delta > 0, one can find some vertex subsets in near-linear time such that all non-trivial min-cuts are preserved, and O(V(G)/δ)O(|V(G)|/\delta) vertices and O(V(G))O(|V(G)|) edges remain when these vertex subsets are contracted.Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir Teilbäume eines Baumes TT mit vorgegebenen Knotengewichten c:V(T)Nc: V(T) \rightarrow \mathbb{N}. Wir führen eine Overload-Discharge-Methode ein, und zeigen, dass es immer einen Teilbaum SS gibt, dessen Gewicht c(S):=vV(S)c(v)c(S) := \sum_ {v \in V (S)} c(v) nahe c(T)2\frac{c(T)}{2} liegt. Je kleiner das Gewicht c(T)c(T) von TT ist, desto geringer ist dabei die Differenz zwischen c(S)c(S) und c(T)2\frac{c(T)}{2}, die wir sicherstellen können. Wir zeigen auch, dass ein solcher Teilbaum effizient, nämlich in Linearzeit, berechnet werden kann. Unter Ausnutzung dieser Methode beweisen wir, dass jeder planare hamiltonsche Graph G=(V(G),E(G))G = (V(G), E(G)) mit Mindestgrad δ4\delta \geq 4 einen Kreis der Länge kk für jedes k{V(G)2,,V(G)2+3}k \in \{\lfloor \frac{|V(G)|}{2} \rfloor, \dots, \lceil \frac{|V(G)|}{2} \rceil + 3\} mit 3kV(G)3 \leq k \leq |V (G)| enthält. Dieser kann in Linearzeit berechnet werden, falls ein Hamilton-Kreis des Graphen bekannt ist. Im zweiten Teil der Dissertation stellen wir drei Schnittbäume eines Graphen vor, von denen jeder Einblick in die Kantenzusammenhangsstruktur des Graphen gibt. Allen drei Schnittbäumen ist gemeinsam, dass sie eine bestimmte binäre symmetrische irreflexive Relation auf der Knotenmenge des Graphen überdecken; die Bäume können als Verallgemeinerungen von Gomory-Hu-Bäumen aufgefasst werden. Die Schnittbäume implizieren folgende Aussagen: (i) Jeder schlichte Graph GG, der δ5\delta \geq 5 oder Kantenzusammenhang λ4\lambda \geq 4 oder Knotenzusammenhang κ3\kappa \geq 3 erfüllt, enthält mindestens 124δV(G)\frac{1}{24} \delta |V(G)| zusammengehörige Paare, wobei ein Paar von Knoten {v,w}\{v, w \} zusammengehörig ist, falls λG(v,w)=min{dG(v),dG(w)}\lambda_G (v, w) = \min \{d_G(v), d_G(w)\} ist. (ii) Jeder schlichte Graph GG mit δ>0\delta > 0 hat O(V(G)/δ)O(|V (G)| / \delta) δ\delta-kantenzusammenhängende Komponenten, und es verbleiben lediglich O(V(G))O(|V (G)|) Kanten, wenn diese Komponenten kontrahiert werden. (iii) Für jeden schlichten Graphen GG mit δ>0\delta > 0 sind Knotenmengen derart effizient berechenbar, dass alle nicht trivialen minimalen Schnitte erhalten bleiben, und O(V(G)/δ)O(|V(G)| / \delta) Knoten und O(V(G))O(|V(G)|) Kanten verbleiben, wenn diese Knotenmengen kontrahiert werden
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