Volume inequalitites for the i-th convolution bodies

We obtain a new extension of Rogers–Shephard inequality providing an upper bound for the volume of the sum of two convex bodies K and L. We also give lower bounds for the volume of the k-th limiting convolution body of two convex bodies K and L. Special attention is paid to the (n - 1)-th limiting convolution body, for which a sharp inequality, which is equality only when K = -L is a simplex, is given. Since the n-th limiting convolution body of K and -K is the polar projection body of K, these inequalities can be viewed as an extension of Zhang’s inequality

Προβλήματα Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης

Συνδυάζοντας πιθανοθεωρητικές τεχνικές με γεωμετρικά και αναλυτικά εργαλεία, στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με έναν αριθμό προβλημάτων που εμπίπτουν στον ευρύτερο κλάδο της Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης. Βασικός άξονας είναι η μελέτη των ιδιοτήτων των (συμμετρικών) κυρτών σωμάτων του Ευκλείδειου χώρου από την ασυμπτωτική σκοπιά, θεωρώντας δηλαδή ότι η διάσταση n του υποκείμενου χώρου τείνει στο άπειρο. Ακολουθεί μια συνοπτική περιγραφή των αποτελεσμάτων της διατριβής. 1. Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων. Αποδεικνύουμε μια βελτιωμένη εκδοχή ενός αποτελέσματος του D. Hajela που σχετίζεται με ένα πολύ γνωστό πρόβλημα του Komlos. Στη συνέχεια γενικεύουμε αυτό το αποτέλεσμα για ανεξάρτητα τυχαία σημεία τα οποία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα στην Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα ή οποιοδήποτε συμμετρικό κυρτό σώμα, και για τυχούσα νόρμα. 2. Αθροίσματα λογαριθμικά κοίλων τυχαίων διανυσμάτων με βάρη. Αποδεικνύουμε άνω φράγματα για τη μέση τιμή της νόρμας σταθμισμένου αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων διανυσμάτων με κατανομή ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας, απαντώντας σε ένα πρόβλημα του V. Milman. Παρουσιάζουμε επίσης εφαρμογές σε "τυχαιοποιημένες" εκδοχές προβλημάτων εξισορρόπησης διανυσμάτων. 3. Τυχαία κυρτά σύνολα. Μελετάμε δύο κλάσεις τυχαίων κυρτών συνόλων και δίνουμε άνω και κάτω φράγματα για τη μέση τιμή του όγκου τους. 4. Αφφινικά quermassintegrals τυχαίων πολυτόπων. Επαληθεύουμε, από την ασυμπτωτική σκοπιά, μια σχετική εικασία του Lutwak για κάποιες ευρείες κλάσεις τυχαίων πολυτόπων. 5. Ο συμμετρικός μέσος και η MM*-ανισότητα για ισοτροπικά κυρτά σώματα. Συζητάμε δύο γνωστά ανοικτά προβλήματα από την ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία. Το πρώτο πρόβλημα αφορά εκτιμήσεις για τον συμμετρικό μέσο sav(K) ενός κυρτού σώματος K, ενώ το δεύτερο αφορά άνω φράγματα για το μέσο πλάτος και τη μέση νόρμα ενός ισοτροπικού κυρτού σώματος. Δίνουμε απλούστερες αποδείξεις για τα καλύτερα μέχρι στιγμής γνωστά αποτελέσματα.Αγγλικά ή άλλη γλώσσα: We study a number of questions from Geometric Functional Analysis using geometric, analytic and probabilistic methods. 1. Vector balancing problems. We obtain an improved version of a result of D. Hajela concerning a well-known problem of Komlos. We also generalize this result to independent random vectors that are uniformly distributed in the Euclidean unit ball or an arbitrary symmetric convex body, and any norm. 2. Weighted sums of log-concave random vectors. We obtain upper bounds for the expected value of the norm of a weighted sum of independent random vectors distributed according to a log-concave isotropic probability measure, answering a question of V. Milman. We also present applications to "randomized" versions of vector balancing problems. 3. Random convex sets. We study two classes of random convex sets and provide upper and lower bounds for the expected value of their volume. 4. Affine quermassintegrals of random polytopes. We confirm, from an asymptotic point of view, a related conjecture of Lutwak for some broad classes of random polytopes. 5. The symmetric average and the MM*-inequality for isotropic convex bodies. We discuss two known problems from asymptotic convex geometry. The first problem asks for estimates on the symmetric average sav(K) of a convex body K, while the second one concerns upper bounds for the mean width and the mean norm of an isotropic convex body. We provide simpler proofs for the best, up to now, known results